设 a>1,\mu>0, 则

\lim_{x \to +\infty}\frac{x^\mu}{a^x}=0.\tag1

这个结论表明了指数函数是任何幂函数的高阶无穷大，[1]直观地说，也就是指数函数的「增长速度」远远超过任何的幂函数。其证明自然可以考虑利用洛必达，反复将分子降次，直到可以求出极限为止，但这里我们想给出一种避开洛必达的证法。

首先，我们来证明这样一个结论

\lim_{n \to \infty}\frac{n^k}{a^n}=0,\tag2

其中， k,n\in\mathbb{N},a>1. [2]证明是容易的。因为 a>1 ，可设 a=1+h(h>0) ，于是依Newton二项式定理，有

\forall n \geq k+1:a^n=(1+h)^n\geq \frac{n(n-1)\cdots(n-k)}{(k+1)!}h^{k+1}，\tag3

进而

\begin{align*} 0 \leq \frac{n^k}{a^n}&\leq \frac{(k+1)!}{h^{k+1}}\cdot \frac{n^k}{n(n-1)\cdots(n-k)}\\ &=\frac{(k+1)!}{h^{k+1}}\cdot \frac{1}{n\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\dfrac{k}{n}\right)}\to 0(n \to \infty),\tag4 \end{align*}

依夹逼定理即得结论。

由此，依 (2) 又可进一步得到

\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)^k}{a^n}=\lim_{n \to \infty}\frac{n^k}{a^n}\left(1+\frac1n\right)^k=0\cdot1=0.\tag5

依序列极限定义，即

\forall \varepsilon>0,\exists N>0,\forall n>N:0