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1、正弦函数、余弦函数的周期性教学设计 教材分析对于函数性质的研究，在高一必修中已经研究了幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究，学生已经有些经验了其中，通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想方法的应用 教学目标1通过创设情境，如单摆运动、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；理解周期函数的概念；能熟练地求出简单三角函数的周期，并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用2在图形上让学生抽象正弦线“周而复始”的变化规律，在代数式上又是如何体现3从形到数、由特殊到一般、由易到难的认知规律及领悟数形结合的思想4理解与掌握

2、函数及周期的求法及周期公式 教学重难点教学重点：正弦、余弦、正切函数的主要性质（包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域），深入研究函数性质的思想方法教学难点：正弦函数和余弦函数图象间的关系、图象变换，以及周期函数概念的理解，最小正周期的意义及简单的应用 课前准备1教学问题（1）从实际情景发现正余弦函数具有周期性（2）通过图象观察出正余弦函数具有周期性，并能够用诱导公式证明2. 支持条件 （1）作为函数的性质，从初中就开始学习，到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较深的认识，这是这节课学习的基础 （2）三角函数概念和诱导公式的学习也为这节课打下了学习的基础 教学过程【引入】取出一个钟表，实际

3、操作，我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这是一种周期现象我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢?【问题1】正弦函数、余弦函数是周期函数吗?如果是，又是怎样周期性变化的?预设师生活动教师可先引导学生查阅思考上节学过的正弦函数图象，让学生观察正弦线的变化规律，有什么新的发现?再让学生描述这种规律是如何体现在正弦函数的图象上的，即描述正弦函数图象是如何体现“周而复始”的变化规律的通过研究图象，学生很容易看出正弦函数、余弦函数是周期函数怎样变化呢?从图1中也能看出是每隔2就重复一次对于【问题1】，学生对正弦函数是周期函数是没有疑问的，至

4、于怎样描述，学生一时很难回答教师可引导学生思考讨论，正弦函数图象是怎样重复出现的?对于回答对的学生给予肯定，鼓励继续探究对于找不到思路的学生给予提示，指导其正确的探究思路图1【问题2】怎样从代数的角度定义周期函数?预设师生活动从图象上能够看出，但关键是怎样对“周而复始”的变化规律作出代数描述，这对学生有一定的难度在引入正式定义之前，可以引导学生先从不同角度进行描述例如：对于函数f（x）自变量每增加或减少一个定值（这样的定值可以有很多个），函数值就重复出现，那么这个函数就叫做周期函数教师也可以引导点拨学生从诱导公式进行描述例如：sin（+2k）=sin，cos（+2k）=cos，kZ这表明，正弦

5、函数、余弦函数在定义域内自变量每增加（k0时）或减少（k0，xR）的周期为T=可以按照如下的方法求它的周期：y=Asin（x+2）=Asin（x+）+=Asin（x+）于是有f（x+）=f（x），所以其周期为例如，在第（3）小题，y=2sin（x-），xR中，=，所以其周期是4由上述解法可以看到，思考的基本依据还是y=sinx的周期为2根据这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期如例3中的第（3）小题：T=4这是求简单三角函数周期的最基本方法，即公式法例2 判断函数f（x）=2sin2x+，的周期性如果是周期函数，最小正周期是多少?预设师生活动本例的难度较大，可引导学生从定义出发

6、，结合诱导公式，寻求使f（x+T）=f（x）成立的T的值学生可能会很容易找出4，2，这的确是原函数的周期，但是不是最小正周期呢?教师引导学生选其他几个值试试如果学生很快求出，教师给予表扬鼓励；如果学生做不出，教师点拨学生的探究思路，主要让学生自己讨论解决解：因为f（x+）=2sin2（x+）+cos（x+）=2sin2x+cosx=f（x）所以原函数是周期函数，最小正周期是变式训练1求函数y=2sin（-x）的周期解：因为y=2sin（-x）=-2sin（x-），所以周期T=62证明正弦、余弦函数的最小正周期是2证明：（反证法）先证正弦函数的最小正周期是2由于2是它的一个周期，所以只需证明任意一个小于2的正数都不是它的周期假设T是正弦函数的周期，且0T2，那么根据周期函数的定义，当x取定义域内的每一个值时，都有sin（x+T）=sinx令x=，代入上式，得sin（+T）=sin=1，但sin（+T）=cosT，于是有cosT=1根据余弦函数的定义，当T（0，2）时，cosT1这说明上述cosT=1是不可能的于是T必须等于2，即正弦函数的最小正周期是2同理可证，余弦函数的最小正周期也是26 / 6

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