在 R^{n} 空间中，我们通常定义p 次微分形式 \sum\limits_{i_1\dots i_n}a_{{i_1}\dots i_{p}}(x)dx^{i_1}\land\dots\land x^ {i_p} ,我们不妨设指标集 I=\{i_1,\dots i_p\} ,我们可以简化上面的写法为 \sum\limits_{I}a_{I}(x)dx^{I} .并且，我们把数值函数 g(x_1 ,\dots,x_n) 称为0次微分形式。我们对于微分形式，有以下的运算法则和约定

加法运算：\sum\limits_{I}a_{I}(x)dx^{I}+\sum\limits_{I}b_{I}(x)dx^{I}=\sum\limits_{I}(a_{I}+b_{I})(x)dx^{I}

数乘运算： f(x)\sum\limits_{I}a_{I}(x)dx^{I}=\sum\limits_{I}f(x)a_{I}(x)dx^{I}

有向性： dx^{j} \land dx^{i}=-dx^{i} \land dx^{j} , dx^{i}\land dx^{i}=0

依据有向性，微分形式都可以写成 \sum\limits_{i_1\dots i_p}a_{i_1\dots i_n}(x)dx^{i_1}\land\dots\land dx^{i_p},1\le i_1 \le\dots\le i_p\le n

对于微分形式，我们还有微分形式之间的外乘运算

（1）0次形式 f 与 p 次形式之间的外乘： f \land w=w \land f=fw

（2） p 次微分形式 w=\sum\limits_{I}a_{I}(x)dx^{I} , q 次微分形式 \theta=\sum\limits_{J}b_{J}(x)dx^{J} ,那么 d\begin{equation}w \land \theta=\sum\limits_{I.J}a_{I}(x)b_{J}(x)dx^{I}dx^{J}\end{equation}

对于微分形式的外乘运算，我们有以下的运算法则：

我们设 f_1,f_2,g_1,g_2 是数值函数， w,w_1,w_2 是 p 次微分形式， \theta,\theta_1,\theta_2 是 q 次微分形式， \eta 是 r 次微分形式

（1） (f_1w_1+f_2w_2)\land \theta=f_1w_1\land \theta+f_2w_2\land \theta

（2） w\land(g_1\theta_1+g_2\theta_2)=g_1w\land\theta_1+g_2w\land\theta_2

（3） w\land \theta=(-1)^{pq}\theta \land w

（4） (w\land \theta)\land\eta=w\land(\theta\land \eta)

我们已经提过，任何一个 p 次微分形式都可以写成 w=\sum\limits_{I}a_{I}(x)dx^{I} ， 1\le i_1\le\dots\le i_p\le n 如果每一个系数 a_{I}(x) 在某个区域都是 r 阶连续可微的，那么我们称这个微分形式是在这个区域 r 阶连续可微，如果 r \ge1 ,我们可以通过以下的条件唯一确定一个对微分形式的外微分运算 d

(1) d(w_1+w_2)=dw_1+dw_2

(2) d(w\land\theta)=dw\land\theta+(-1)^{p}w\land d\theta

(3) d(dw)=0

(4)如果 f 是零次微分形式， df 就是它的微分

因此我们对于一个微分形式 w=\sum\limits_{I}a_{I}(x)dx^{I} ,我们可以求得它的外微分为 dw=\sum\limits_{I}(da_{I}(x))\land dx^{I}

以下我们借助 R^{2},R^{3} 中的微分形式，重新考察Green公式，Gauss公式，Stokes公式

我们一般指的Green公式是把绕二维区域边界的第二性曲线积分转换为区域上二重积分的公式

定理1：我们设闭区域 D 是由有限条可求长的闭曲线围成的， \partial D 表示定向边界的并，函数 P,Q 都是 D 上的连续函数，并且都有一阶偏导数，那么我们有 \int\limits_{\partial D}Pdx+Qdy=\int\limits_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x }-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy

如果我们用微分形式的角度来考察，被积表达式 w=Pdx+Qdy ，我们求这个微分形式的外微分 dw=dP\land dx+dQ \land dy\\=(\frac{\partial P}{\partial x}dx+\frac{\partial P}{\partial y}dy)\land dx+(\frac{\partial Q}{\partial x}dx+\frac{\partial Q}{\partial y}dy)\land dy\\=\frac{\partial P}{\partial y}dy \land dx+\frac{\partial Q}{\partial x}dx \land dy\\=(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dx \land dy

所以Grenn公式可以写成 \int\limits_{\partial D}w=\int\limits_{D}dw

我们一般指的Gauss公式是把沿三维区域边界的第二型曲面积分转化为区域上三重积分的公式

定理2：设 V 是空间的一个有界的闭区域， \partial V 是由有限张分块光滑的双侧曲面组成，取外法线方向，函数 P,Q,R 在 V 上连续并且有连续偏导数，那么我们有 \int\limits_{\partial V}Pdy\land dz+Qdz \land dx+R dx \land dy=\int\limits_{V}(\frac{\partial P }{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz

如果我们用微分形式的角度来看，被积表达式 w=P dy\land dz+Q dz\land dx+Rdx\land dy ,我们求它的外微分 dw=dP(dy \land dz)+dQ(dz\land dx)+dR(dx \land dy)\\=(\frac{\partial P}{\partial x}dx+\frac{\partial P}{\partial y}dy+\frac{\partial P}{\partial z}dz)(dy \land dz)+(\frac{\partial Q}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial Q}{\partial z})(dz \land dx)+(\frac{\partial R}{\partial x}+\frac{\partial R}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})(dx \land dy)\\=\frac{\partial P}{\partial x}dx\land dy\land dz+\frac{\partial Q}{\partial y}dx\land dy\land dz+\frac{\partial R}{\partial z}dx\land dy\land dz\\=(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dx\land dy\land dz

所以Gauss公式可以写成 \int\limits_{\partial D}w=\int\limits_{D}dw

我们一般指的Stokes公式是指把曲面边界的第二型曲线积分与曲面上的第二型曲面积分相联系的公式。

定理3：设 S 是空间中一个光滑曲面，边界为 \partial S 由有限条逐段光滑的曲线组成， \partial S 的定向由 S 的定向确定，函数 P,Q,R 在 S 上连续可微，那么 \int\limits_{\partial S}Pdx+Qdy+Rdz=\int\limits_{S}(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dy \land dz+(\frac{\partial P}{\partial z }-\frac{\partial R}{\partial x})dz \land dx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dx \land dy

如果我们用微分形式的角度来考察，被积表达式 w=Pdx+Qdy+Rdz ,我们求它的外微分

dw=dP\land dx+dQ\land dy+dR \land dz\\=(\frac{\partial P}{\partial x}dx+\frac{\partial P}{\partial y}dy+\frac{\partial P}{\partial z}dz)\land dx+(\frac{\partial Q}{\partial x}dx+\frac{\partial Q}{\partial y}dy+\frac{\partial Q}{\partial z}dz)\land dy+(\frac{\partial R}{\partial x}dx+\frac{\partial R}{\partial y}dy+\frac{\partial R}{\partial z}dz)\land dz\\=\frac{\partial P}{\partial y}dy \land dx+\frac{\partial P}{\partial z}dz \land dx+\frac{\partial Q}{\partial x}dx \land dy+\frac{\partial Q}{\partial z}dz\land dy+\frac{\partial R }{\partial x}dx \land dz+\frac{\partial R }{\partial y}dy\land dz\\=(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dx \land dy+(\frac{\partial R}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial z})dx \land dz+(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dy \land dz

所以Stokes公式可以写成 \int\limits_{\partial D}w=\int\limits_{D}dw

因此，采用微分形式的记号，这三个公式可以统一表示为 \int\limits_{\partial D}w=\int\limits_{D}dw