基础知识： e^(x·i)=sin x +i·cos x(泰勒展开可证)

法一： 设f(y)=e^(y·pi·i)=sin (y·pi) +i·cos (y·pi)

y=1，e^(1·pi·i)=-1 y=2，e^(2·pi·i)=1

不难发现 当y为奇数时，f(y)=-1 当y为偶数时，f(y)=1

当f(y)=e^(y·pi·i)=-1时 有 e^(1·pi·i)=-1 e^(3·pi·i)=-1 …… e^((2·m-1)·pi·i)=-1 ……

对应x^n=-1的解 有 x1= e^((1·pi·i)/n) x2= e^((3·pi·i)/n) …… xm= e^(((2·m-1)·pi·i)/n) …… xn= e^(((2·n-1)·pi·i)/n) ……

因为f(2)=1 ，于是有x(n+1)= x(1)，……，x(n+i) x(i) 所以由f(y)=-1一共得到关于x^n=-1 的n个不同的解 又因为x^n=-1一共有n个解(复数域上的因式分解定理) 所以x^n=-1的解如下 xj= e^(((j·pi·i)/n)=sin ((j/n)·pi)+ i·cos ((j/n)·pi),j={1,3,…,2·n-1}

同理可解得x^n=-1的解如下 xj= e^((j·pi·i)/n)=sin ((j/n)·pi)+ i·cos ((j/n)·pi),j={0,2,…,2·(n-1)}

法二(单位圆) https://blog.csdn.net/qq_42876636/article/details/88042619