f ′ ( x ) = lim ⁡ △ x → ∞ 1 x = 0 f'(x)=\lim\limits_{△x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}=0 f′(x)=△x→∞lim​x1​=0

证明：求函数 f ′ ( x ) = x n ( x ∈ N + ) 的 导 数 f'(x)=x^n(x∈N_+)的导数 f′(x)=xn(x∈N+​)的导数 方法一： f ′ ( x ) = lim ⁡ △ x → 0 f ( x + △ x ) − f ( x ) △ x = lim ⁡ △ x → 0 ( x + △ x ) n − x n △ x = lim ⁡ △ x → 0 C n n x n △ x 0 + C n n − 1 x n − 1 △ x 1 + . . . + C n 0 x n 0 △ x n − x n △ x = lim ⁡ △ x → 0 C n n − 1 x n − 1 △ x 1 + . . . + C n 0 x n 0 △ x n △ x = lim ⁡ △ x → 0 C n n − 1 x n − 1 + . . . + C n 0 x n 0 △ x n − 1 f'(x)=\lim\limits_{△x\to0}\frac{f(x+△x)-f(x)}{△x}=\lim\limits_{△x\to0}\frac{(x+△x)^n-x^n}{△x}=\lim\limits_{△x\to0}\frac{C^n_nx^n△x^0+C^{n-1}_nx^{n-1}△x^1+...+C^0_nx^0_n△x^n-x^n}{△x}=\lim\limits_{△x\to0}\frac{C^{n-1}_nx^{n-1}△x^1+...+C^0_nx^0_n△x^n}{△x}=\lim\limits_{△x\to0}{C^{n-1}_nx^{n-1}+...+C^0_nx^0_n△x^{n-1}} f′(x)=△x→0lim​△xf(x+△x)−f(x)​=△x→0lim​△x(x+△x)n−xn​=△x→0lim​△xCnn​xn△x0+Cnn−1​xn−1△x1+...+Cn0​xn0​△xn−xn​=△x→0lim​△xCnn−1​xn−1△x1+...+Cn0​xn0​△xn​=△x→0lim​Cnn−1​xn−1+...+Cn0​xn0​△xn−1 ∵ △ x → 0 {△x\to0} △x→0 ∴ 有 △ x 的 项 都 为 0 有△x的项都为0 有△x的项都为0 即： f ′ ( x ) = lim ⁡ △ x → 0 C n n − 1 x n − 1 = n ∗ x n − 1 f'(x)=\lim\limits_{△x\to0}{C^{n-1}_nx^{n-1}}=n*x^{n-1} f′(x)=△x→0lim​Cnn−1​xn−1=n∗xn−1 方法二：使用等价无穷 lim ⁡ a → 0 ( 1 + a ) n − 1 = n ∗ a \lim\limits_{a\to0}{(1+a)^n-1}=n*a a→0lim​(1+a)n−1=n∗a

∴ f ′ ( x ) = lim ⁡ △ x → 0 f ( x + △ x ) − f ( x ) △ x = lim ⁡ △ x → 0 ( x + △ x ) n − x n △ x = lim ⁡ △ x → 0 ( x + △ x x ) n − ( x x ) n ( △ x x n ) = x n − 1 ∗ lim ⁡ △ x → 0 ( 1 + △ x x ) n − 1 △ x x = x n − 1 ∗ n f'(x)=\lim\limits_{△x\to0}\frac{f(x+△x)-f(x)}{△x}=\lim\limits_{△x\to0}\frac{(x+△x)^n-x^n}{△x}=\lim\limits_{△x\to0}\frac{(\frac{x+△x}{x})^n-(\frac{x}{x})^n}{(\frac{△x}{x^n})}=x^{n-1}*\lim\limits_{△x\to0}\frac{(1+\frac{△x}{x})^n-1}{\frac{△x}{x}}=x^{n-1}*n f′(x)=△x→0lim​△xf(x+△x)−f(x)​=△x→0lim​△x(x+△x)n−xn​=△x→0lim​(xn△x​)(xx+△x​)n−(xx​)n​=xn−1∗△x→0lim​x△x​(1+x△x​)n−1​=xn−1∗n