本文将介绍泊松分布的基本概念、推导、应用，以及泊松定理，附有几道练习题，希望帮助大家掌握泊松分布

【泊松分布是以其发表者Poisson命名的】 随机变量X服从参数为λ的泊松分布，记作 X ∼ π ( λ ) X\sim\pi(\lambda) X∼π(λ) 其分布律为 P { X = k } = λ k e − λ k ! , k = 0 , 1 , 2 , … P\{X=k\}=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, k=0,1,2,… P{X=k}=k!λke−λ​,k=0,1,2,… 其中λ>0 注意k取值哟，k是从0到∞！！

对于上式，我们需要证明其满足分布律的条件，即各值概率求和为1, 即： ∑ k = 0 ∞ P { X = k } = 1 \sum_{k=0}^{\infty}P\{X=k\}=1 k=0∑∞​P{X=k}=1 证明如下： ∑ k = 0 ∞ P { X = k } = ∑ k = 0 ∞ λ k e − λ k ! = e − λ ∑ k = 0 ∞ λ k k ! = e − λ × e λ = 1 \sum_{k=0}^{\infty}P\{X=k\}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}=e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty\frac{\lambda^k}{k!}=e^{-\lambda}\times e^{\lambda}=1 k=0∑∞​P{X=k}=k=0∑∞​k!λke−λ​=e−λk=0∑∞​k!λk​=e−λ×eλ=1

这个求和用到了函数f(x)=e^x的带有拉格朗日余项的n阶麦克劳林公式 哈哈，其实这里只是推导一下就好，更严谨，以后使用公式时候用不到

这是一种用泊松分布逼近二项分布的定理，可以看作泊松分布分布律从二项分布律的推导，具体内容如下：

n为任意正整数，np=λ，λ>0,对任意非负整数k，都有 lim ⁡ x → ∞ C n k p n k ( 1 − p ) n − k = λ k e − λ k ! \lim_{x \to \infty}C_n^k p_n^k (1-p)^{n-k}=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} x→∞lim​Cnk​pnk​(1−p)n−k=k!λke−λ​ 证明思路： 让式子只剩下λ，消去n，p 1.消去n：使n趋近于∞ 2.消去p：p=λ/n

证明如下： C n k p n k ( 1 − p ) n − k = n ( n − 1 ) . . . ( n − k + 1 ) k ! ( λ n ) k ( 1 − λ n ) n − k C_n^k p_n^k (1-p)^{n-k}=\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}{(\frac \lambda n)}^k (1-\frac \lambda n)^{n-k} Cnk​pnk​(1−p)n−k=k!n(n−1)...(n−k+1)​(nλ​)k(1−nλ​)n−k 观察右项，尽量配出来

原 式 = λ k k ! [ 1 × ( 1 − 1 n ) × … × ( 1 − k − 1 n ) ] ( 1 − λ n ) n ( 1 − λ n ) − k 原式=\frac {\lambda^k}{k!}[1\times(1-\frac 1n)\times…\times(1-\frac {k-1}n)](1-\frac \lambda n)^n(1-\frac \lambda n)^{-k} 原式=k!λk​[1×(1−n1​)×…×(1−nk−1​)](1−nλ​)n(1−nλ​)−k 令n趋近于正无穷，则 [ 1 × ( 1 − 1 n ) × … × ( 1 − k − 1 n ) ] → 1 [1\times(1-\frac 1n)\times…\times(1-\frac {k-1}n)] \to 1 [1×(1−n1​)×…×(1−nk−1​)]→1 ( 1 − λ n ) n → e − λ (1-\frac \lambda n)^n\to e^{-\lambda} (1−nλ​)n→e−λ 上式为对自然常数e的定义的代换，实质上用到了复合函数的极限运算法则 ( 1 − λ n ) − k → 1 (1-\frac \lambda n)^{-k}\to 1 (1−nλ​)−k→1 因此，得证 lim ⁡ x → ∞ C n k p n k ( 1 − p ) n − k = λ k e − λ k ! \lim_{x \to \infty}C_n^k p_n^k (1-p)^{n-k}=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} x→∞lim​Cnk​pnk​(1−p)n−k=k!λke−λ​ np=λ，n很大，p很小时，有近似式： C n k p n k ( 1 − p ) n − k ≈ λ k e − λ k ! C_n^k p_n^k (1-p)^{n-k}\approx \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} Cnk​pnk​(1−p)n−k≈k!λke−λ​ 即用泊松分布概率值作二项分布概率值的近似 一般来说，n>=20,p=20, p=20,p=2}=1-P{X=0}-P{X=1} =1-(0.999)^1000 -C(1000,1)(0.999)^999 (0.001) ≈0.2642411

可以看出因为次品率很低，所以小数计算很麻烦

②用泊松定理 λ=1000×0.001=1 P{X>=2}=1-P{X=0}-P{X=1} =1-e^(-1)-e(-2) ≈0.2642411 可以看出近似效果很好

第二类：需要求出或已知λ确定泊松分布 例题：某人家中在时间间隔t (以h计)内接到电话的次数X服从参数为 2t的泊松分布 (1)若他外出计划用时10min，问其间有电话铃响一次的概率是多少？ (2)若他希望外出时没有电话的概率为0.5，问他外出应控制最长时间为多少？ 解 以X表示此人外出时电话铃响的次数，即X~Poi(2t),X的分布律为 P { X = k } = ( 2 t ) k e − 2 t k ! , k = 0 , 1 , 2... P\{X=k\}=\frac {(2t)^k e^{-2t}} {k!}, k=0,1,2... P{X=k}=k!(2t)ke−2t​,k=0,1,2... (1) t=10/60=1/6, X~P(2×(1/6)) 故所求概率为 P{X=1}=1/3×e^(-1/3)=0.2388

(2) 设外出最长时间为 t(小时)，因X~Poi(2t), 无电话打进的概率为： P{X=0}=e^(-2t) 要使得P{X=0}=e^(-2t）>=0.5,求得 t