首先让我们来回忆一下辐射度量学中关于irradiance和radiance的定义： 我们在这里定义光源(source)在x-z平面，因此入射光就可以只用 θ i \theta_{i} θi​来描述。 d A s \mathrm{d}A_{s} dAs​是表面积。定义 d Φ i \mathrm{d}\Phi_{i} dΦi​是入射光在 d A s \mathrm{d}A_{s} dAs​上从 θ i \theta_{i} θi​方向上来的能量。 d 2 Φ i \mathrm{d}_{}^{2}\Phi_{i} d2​Φi​是从 ( θ r , ϕ r ) (\theta_{r},\phi_{r}) (θr​,ϕr​)方向反射的能量。

那么我们就可以定义在表面上的 i r r a d i a n c e irradiance irradiance：

可以理解为单位面积上所吸收的能量。是一个单位量。

对于从 ( θ r , ϕ r ) (\theta_{r},\phi_{r}) (θr​,ϕr​)方向反射出去的 r a d i a n c e radiance radiance，我们可以定义为:

d ω r \mathrm{d}\omega_{r} dωr​为出射方向的立体角。这也是一个单位量，即从单位面积上，立体角方向，所发出的能量。

如果对于为什么 r a d i a n c e radiance radiance的 d A s c o s θ i \mathrm{d}A_{s}cos\theta_{i} dAs​cosθi​会有 c o s θ i cos\theta_{i} cosθi​项不清楚的话，可以想成 i r r a d i a n c e irradiance irradiance是因为我们从接收者的角度去看，而 r a d i a n c e radiance radiance是从发送者的角度去看，那么对于发射出的能量的有效面积自然是对于 θ i \theta_{i} θi​方向的投影面积，因为我们想要的一种能够描述的度量量。

好了，我们已经清楚了 i r r a d i a n c e irradiance irradiance和 r a d i a n c e radiance radiance的定义之后，那么 B R D F BRDF BRDF我们可以定义为：

即入射的 i r r a d i a n c e irradiance irradiance除以出射的 r a d i a n c e radiance radiance。

这里，我们将了解两种表面模型的细节，和解释粗糙度与反射之间的关系。

对于一个表面来说，一般是不可能绝对光滑的，即表面上有着微小的高度变化，对于这样的变化，我们可以用一个高度的概率分布来描述。(这里是假设了一种高度概论分布)

σ h \sigma_{h} σh​是关于 h h h的均方根，不一样的表面，描述模型也不一样。但这种描述分布不能告诉我们表面上山谷和山丘的距离。 这种函数是关于位置 ( x , y ) (x,y) (x,y)的分布。

这种函数仅仅能描述一种概论分布，但对于两种有着同样的概论分布，但有可能实际表面有很大不同，这就存在着巨大问题，那么我们就引入一种自相关系数 C ( τ ) C(\tau) C(τ)来区别这两种表面。 τ \tau τ决定了在表面上两个随机的高度的距离。 T T T是相关距离。 （ a ） （a） （a）的相关距离就小于 （ b ） （b） （b）图。自此，从高度来建模，需要至少两个参数才能描述一种表面。

这里就引入了我们熟悉的微表面模型，我们假设表面是由无数个微小完美镜面组成。 每一个微表面都有着自己的法线方向，同时与表面法线有着一个夹角 α \alpha α。那么我们就可以对参数 α \alpha α进行建模，如果表面是各项同性的(isotropic)，那么参数 α \alpha α是关于法线旋转对称的，例如，我们假设平均值 < α > = 0 = 0 =0和标准差 σ α \sigma_{\alpha} σα​:

表面模型就可以被一个单一参数 σ α \sigma_{\alpha} σα​所决定，不需要像高度描述所需要两个参数。 对于 σ α \sigma_{\alpha} σα​值比较大的常用来建模粗糙表面。对于散射光被发现依赖于表面的微表面坡度分布而不是高度分布。虽然对于高度分布模型来说，微表面法线分布模型的理解比较模糊，但可以直接使用在表面反射中。 微表面法线分布与slope分布在这里指代同一种分布，因为微表面法线与表面法线的夹角就是slope， α \alpha α。

这里我们将解释什么是粗糙度，当了解了粗糙度，对于光滑表面来说就是粗糙度比较小的情况。

表面反射理论是这么定义粗糙度的：粗糙度是是关于表面不规则度，入射光波长和出射角度有关。对于给定入射光波长，粗糙表面将入射光散射到不同的角度。如果表面不规则度小于入射波长，那么将有一部分入射光将被反射到单一方向形成高光(specularly)。换句话说，如果表面的不规则度大于入射波长，那么入射光将被散射到任意方向。也就是说，一个表面所表现出来的粗糙质感是与入射光的波长和表面的不规则度有关。 对于入射光1和2，以相同的 β \beta β角度入射到表面，假设每个微表面是绝对镜面反射。这里假设出射光垂直于source表面，反射光垂直于detector表面(请回忆radiance和irradiance)。 那么对于射线1和射线2的光传播路程是不相等的，我们将射线2等价于射线3以便于分析路程差。 这里我们定义表面高度 H H H。那么路程差 △ d \bigtriangleup d △d将可以通过射线1和射线3计算可得：

这从图5可以很简单的分析得出。 我们定义入射光波长为 λ \lambda λ。那么对于delector面接收到的反射光的相位(phase)差就可以被定义为(似乎是高中物理光学公式)：

当 △ Ω \bigtriangleup \Omega △Ω非常小的时候，接收平面(delector)所从两条射线接受到的能量是非常接近的，可以认为近似相等，那么平面所接受到的能量就可以对两条射线所携带的能量进行求和，这种情况反射光将形成高光。 如果相位差等于 π \pi π的时候，那么这两条光线将会相互抵消，即高中我们所学的波的相消现象。那么能量去哪了？根据能量守恒定律来说，能量不会凭空消失，也不会突然增多。如果能量没有沿着反射方向传播，那么只会分布在其他任意方向。 因此，我们似乎就知道了两个规律：

那么我们是不是可以找到定义光滑和粗糙表面的一个界限呢？ 是的，通过Raleigh criterion ,我们选择 π 2 \frac{\pi}{2} 2π​当作定义粗糙表面的一个阈值。那么我们就可以得出 H H H的取值范围：

在一些paper里面，定义 σ h > > λ \sigma_{h} >> \lambda σh​>>λ，即高度的方差远大于入射光的波长的时候，将表面定义为粗糙表面。事实上，我们讨论这些仅仅是为了学习对于粗糙表面的定义与学习表面反射。

在这里我们将去讨论几何光线和波动光学。

好了，做好准备了吗？ 我们将从波动光学开始入手，来看看入射光的能量到底是怎么算出来的！

光是什么呢？光是一种电磁波现象。但由于人们认识到这个问题其实很晚，所以光学就被分成了不同的领域，在我们学习粗糙和光滑表面是如何散射入射光之前，让我们先来回顾一下一些学说吧！

在原子学说里面，电磁效应被认为是微小粒子在力的作用下相互作用的结果。如果粒子静止，那么它们受到了来自电场的恒定的静电力，即静电平衡。如果，带点粒子开始移动，那么会产生磁场，即电动生磁。那么我们来定义一下： E E E为电场强度， H H H为磁场强度。电磁场的存在不依赖于任何介质，因此电磁场的能量可以随着带电粒子的射出，而携带出来，即电磁波的传输。 当光从一点开始向四周发散，并且观察点与点光源的距离非常大的时候，我们可以假设球面波变成了平面波，那么电磁场就可以被表达为：

k k k是光传播的方向， r r r是距离观测点 P P P的距离向量，单位向量 e ⃗ ， h ⃗ \vec{e}，\vec{h} e ，h 代表了电场和磁场的方向，复数因子 E o ， H o E_{o}，H_{o} Eo​，Ho​代表了电场与磁场的能量强度，但实际上电磁场被 E ， H E，H E，H的实数值所决定，写成复数仅仅为了数学表达和推导方便。 我们可能知道这个公式： e = c o s θ + i s i n θ e = cos\theta + isin\theta e=cosθ+isinθ。 我们知道 k k k的方向性代表了光传播的方向，那么 k k k的大小呢？它代表传播常数，被光的波长所决定：

如果波长在400-700纳米之间，那么就被称为单色光( m o n o c h r o m a t i c l i g h t monochromatic light monochromaticlight)，可以被人眼捕捉到。

第二个指数项代表了场的强度，是一个随时间，震荡频率变化的函数。 方程代表了粒子所受到的力是随空间和时间而变化的。

E o 和 H o E_{o}和H_{o} Eo​和Ho​代表了电场和磁场的强度，或者说振幅，它们互相依赖：