在本系列前4章节，我们快速的过了一遍概率论对于一维随机变量的定义与分类。 从最原始直观的经典概率类型出发，我们引申到了条件概率，以及针对条件概率，扩展得到的全概率、贝叶斯概率。 在对概率建立起一定概念后，我们又引入了针对是否连续，而提出的连续型和离散型概率事件的模型，并且分别介绍了针对离散型概率事件表达的概率分布函数，与连续型的概率密度函数，并介绍了5种重要的概率模型。

二维可以认为是针对一维事件的扩展，由于现实中很多事件可能包含多个变量，所以单纯的用一维模型是无法解决的。因此在教材中引入二维的概念，其实是为了将来面对高维度概率事件做准备。

离散型从概念上说，要比连续型容易理解和入手，所以这里也遵照教材的顺序，从离散型二维随机变量出发，引入二维概率事件。

再次重申，你需要反复记住一个概念，就是针对离散型的概率模型，有且只有分布律。因为对于离散的点来说，它在数学上是没有积分面积这个概念的，因为离散的点，即不存在极限，也不存在斜率，所以为了研究离散概率事件，只能研究它的分布函数，而连续型，是有分布函数的，之所以不常提连续型的概率分布函数，是因为在连续的积分区域里面，更为方便和容易理解连续概率事件的特征。

我一直不是很明白中文教材一些数学专业名词的含义，大抵跟这些概念引入中国是在清中期，比如与李善兰等老先生的工作有关，不过语言是活的，当年的那些概念是否符合今人的习惯，并且能够准确理解，我是抱有怀疑态度的。所以在这个数学基础系列里，在一些我认为有所模糊的地方，都会尝试引入原本的英文定义，或者我认为比较接近小白都能理解的含义。

在前两个章节里，反复提到的分布律，你可以理解为概率集合，或者是概率样本集合。英文直译就是分布概率函数或者分布规律。因此，比方说对于一个一维随机离散型概率事件，它的分布规律/分布律/分布函数，就可以是这样的：

而对于二维离散概率，就可以得到这样的表现形式：

所谓边缘分布律，可以理解为投影，即从一个方向投影到另外一个方向上，线性叠加的过程。

这个概念和线性代数里的特征向量很相似，只不过要更为简单。因为如果变量X，Y分别为离散随机样本的两个变量，那么当提到X，Y上的边缘分布律时，只是把所有的点映射到X或者Y轴上面。

因此，可以有这样简单的公式计算边缘分布律

对于X轴的边缘分布概率，可以得到：

P { x } = ∑ y P { x , y } = ∑ P { x ∣ y } P { y } P\{ x \} = \sum_y P\{ x, y \} = \sum P\{ x | y \} P \{y \} P{x}=y∑​P{x,y}=∑P{x∣y}P{y}

同理，对于Y轴的边缘分布概率，也可以得到：

P { y } = ∑ x P { x , y } = ∑ P { y ∣ x } P { x } P\{ y \} = \sum_x P\{ x, y \} = \sum P\{ y | x \} P \{x \} P{y}=x∑​P{x,y}=∑P{y∣x}P{x}

实际上也就是把概率按照一个方向上进行加和运算。

离散型二维随机变量是否满足独立的一个条件，就是看它各自在边缘分布上是否独立。听起来有点绕？其实很简单，大致就是：对于二维离散型随机分布 P { X = x i , Y = y j } P\{ X = x_i, Y = y_j \} P{X=xi​,Y=yj​} X和Y是否独立，要满足：

P { X = x i , Y = y j } ⇋ P { X = x i } ∩ P { Y = y j } P\{ X = x_i, Y = y_j \} \leftrightharpoons P\{ X=x_i \} \cap P\{ Y = y_j \} P{X=xi​,Y=yj​}⇋P{X=xi​}∩P{Y=yj​}

稍微细心的朋友，就会发现这其实是第一章节里，基本概率类型的交概率事件，是的！到这里，离散型二维随机变量的基本概念就结束了，不过基于这些概念，可以出的题可是有很多的。

然后我们来试着做点练习题吧：

已知二维离散型随机变量(X, Y)的联合分布律如下：

(1) P { X = − 1 , Y = 2 } P \{ X = -1, Y = 2 \} P{X=−1,Y=2} 和 P { X ≤ Y } P \{ X \leq Y \} P{X≤Y} (2) X和Y的边缘分布律 (3) X和Y是否独立 (4) Z = X + Y Z = X + Y Z=X+Y， W = m a x { X , Y } W = max \{ X, Y \} W=max{X,Y} 的分布律 (5) P { X = − 1 ∣ Y = 1 } P\{ X = -1 | Y = 1 \} P{X=−1∣Y=1}

解（1）

从上面的分布律直接查表于是： P { X = − 1 , Y = 2 } = 0.3 P \{ X = -1, Y = 2 \} = 0.3 P{X=−1,Y=2}=0.3

对于 X ≤ Y X \leq Y X≤Y，可以得到：

当 X = − 1 X = -1 X=−1 的时候，符合以上条件的Y有 Y = − 1 , 1 , 2 Y = -1, 1, 2 Y=−1,1,2；当 X = 2 X = 2 X=2 时，可以有 Y = 2 Y = 2 Y=2， 所以我们可以得到：

P { X ≤ Y } = P { − 1 , − 1 } + P { − 1 , 1 } + P { − 1 , 2 } + P { 2 , 2 } = 0.7 P \{ X \leq Y \} = P\{ -1, -1 \} + P\{ -1, 1 \} + P\{ -1, 2 \} + P\{ 2, 2 \} = 0.7 P{X≤Y}=P{−1,−1}+P{−1,1}+P{−1,2}+P{2,2}=0.7

解（2）

根据边缘分布律的定义，我们可以得到：

对于X来说：

P { X = − 1 } = P { − 1 , − 1 } + P { − 1 , 1 } + P { − 1 , 2 } = 0.6 P \{ X = -1 \} = P \{ -1, -1 \} + P \{ -1, 1 \} + P \{ -1, 2 \} = 0.6 P{X=−1}=P{−1,−1}+P{−1,1}+P{−1,2}=0.6

P { X = 2 } = P { 2 , − 1 } + P { 2 , 1 } + P { 2 , 2 } = 0.4 P \{ X = 2 \} = P \{ 2, -1 \} + P \{ 2, 1 \} + P \{ 2, 2 \} = 0.4 P{X=2}=P{2,−1}+P{2,1}+P{2,2}=0.4

对于Y来说： P { Y = − 1 } = P { − 1 , − 1 } + P { 2 , − 1 } = 0.3 P\{ Y = -1 \} = P\{ -1, -1 \} + P\{ 2, -1 \} = 0.3 P{Y=−1}=P{−1,−1}+P{2,−1}=0.3

P { Y = 1 } = P { − 1 , 1 } + P { 2 , 1 } = 0.3 P\{ Y = 1 \} = P\{ -1, 1 \} + P\{ 2, 1 \} = 0.3 P{Y=1}=P{−1,1}+P{2,1}=0.3

P { Y = 2 } = P { − 1 , 2 } + P { 2 , 2 } = 0.4 P\{ Y = 2 \} = P\{ -1, 2 \} + P\{ 2, 2 \} = 0.4 P{Y=2}=P{−1,2}+P{2,2}=0.4

然后我们把以上的分布概率制作成表格：

解（3） 是否独立，我们把上面的边缘分布律进行相乘：

然后我们跟原始的分布律表进行对比，发现不一样，所以可以得出事件X和Y不独立

解（4） 单纯看题目，好像很难解，于是我们把原始的分布律表换成这样的形式：

然后我们把新函数的分布律加入到上面的那张表

然后把概率样本进行加和：

解（5） 我们根据条件概率的公式；

P { X = − 1 ∣ Y = 1 } = P { X = − 1 , Y = 1 } P { Y = 1 } P\{ X = -1 | Y = 1 \} = \frac{P\{X = -1, Y = 1 \} }{P \{ Y = 1\} } P{X=−1∣Y=1}=P{Y=1}P{X=−1,Y=1}​

分别从边缘概率和原来的概率分布表中查表可知：

P { X = − 1 ∣ Y = 1 } = 0.2 0.3 = 2 / 3 P\{ X = -1 | Y = 1 \} = \frac{0.2}{0.3} = 2/3 P{X=−1∣Y=1}=0.30.2​=2/3