一条弯弯扭扭的曲线，局部放大了看就趋近于一条直线。一个可导的函数就能描述这样一条曲线。一个函数可导告诉我们它的局部是线性的。这对于像y=f(x) 这种一元函数来说非常容易理解。在某一点（x=x0）（不支持上下标，对数学公式不太友好，请见谅）邻域，y的增量与x的增量关系近似为线性关系，△y≈k△x。如果邻域无限小，上面的式子就可以写成dy=kdx。k即为f(x)在x0处的导数，记为f’(x0).导数这一特性巧妙地把微积分和线性代数结合起来。这一点在多元函数的微积分中尤为突出。

导数的几何意义取决于函数的几何意义，在一元函数中，如果y=f(x)被画成一个函数图像，那么导数被解释为切线的斜率；如果y=f(x)被解释成数轴上数的变换（数x从位置x变换到位置y），那么导数被解释为局部的放大倍数；那在多元函数里，导数又代表了什么呢？要回答这个问题，首先就要把函数赋予几何意义，把它的“图像”画出来。然后找来一个放大镜观察函数的局部图像，就知道多元函数导数的几何意义了。

到了多元函数里，画函数图像就没那么简单了。我们擅长画二维图像，能画三维图像，再高维的就画不了了。维数这个东西太高了就没办法想象了。我在这里也是仅仅考虑二元函数，二维作为高维的最低维，用它来做例子再好不过了。

二元函数z=f(x,y)有两个输入，一个输出。它在二维空间中构成了一个标量场。显示这个函数主要有两种方法：曲面法、涂色法。

曲面法就是把满足z=f(x,y)的点标在空间坐标系Oxyz中，形成一张曲面。这种方法简单粗暴，直接延续了一元函数y=f(x)的画法，把空间拓展到三维。

涂色法首先要给z值规定颜色，不同的z有不同的颜色，然后在平面上(x,y)处涂上对应的颜色z。形成一幅彩色的平面图像。注意别忘了把颜色标尺给附上，不然不知道对应关系。

有时这两种方法可以合一块用，就像matlab那样，在曲面上涂颜色。

以下是一些二元函数的例子。我将用两种方法画同一个函数，方便对比。

我们趁现在这个时机把高数书上经常出现的二元函数都画出来看看效果。刚才判断原点的极限不存在，是因为沿着两个不同的方向趋近原点，极限不相等。那我来一个任何直线趋近原点极限都相等的函数，那二重极限还存在吗？

众所周知，二重极限跟二次极限（累次极限）是不一样的。

就像放大曲线一样，我们来看看二元函数放大后，局部会是什么样子。

当我们不断放大彩色图像的某一局部时，会发现整个视野变成了一团一样的颜色，这是因为函数是连续的，某个点的颜色当然跟它周围的颜色是相近的。为了增加区分度，我们把颜色标尺做相应的更改。（事实上在计算机作图的时候它自动就帮你改了。）这样，周围颜色的变化趋势就逐渐显现出来了。呈现出平行的均匀渐变的带状条纹。十分符合平面的等高线图像。

一个凹凸不平的曲面，局部放大了看就趋近于一个平面了。我们把这个平面叫做切平面（tangent plane）

平面的一般方程为ax+by+cz=d；写成增量形式△z=A△x+B△y，其中△z=z-z0, △y=y-y0, △x=x-x0,z0=f(x0,y0)。因为x,y的变化要无限小，那一小块才是平面，写成dz=Adx+Bdy.这就是z的变化跟x,y的变化之间的关系。事实上这就是切平面的方程，（切平面的外法向量就是（-A,-B,1））同时我们也说函数在这点可微。

这时我们想找出A和B来。如果只让x变化不让y变化，也就是dx≠0,dy=0；我们得到dz=Adx|dy=0，于是A=(dz/dx)|dy=0，通常写成A=∂z/∂x表示z对x的偏导数，几何意义就是x方向切线的斜率。同理，B=∂z/∂y，代表y方向切线的斜率。最终z的全微分写成

大家好我是分界线，下面插播一段小插曲。

先暂停一下脚步，玩个"切切乐"。把曲面沿着平行于x轴的方向切开得到一条曲线，曲线上的y值都一样，dy=0，那么曲线上一点的斜率就是∂z/∂x，在彩图上画一条平行于x轴的直线，沿着直线上走，颜色z的变化率就是∂z/∂x。

同样沿着y方向切一刀也能得到类似的结果。

我们甚至可以找点茬，我要是斜着切一刀呢？切出来的曲线斜率叫什么呢？干脆就叫"那个方向"的方向导数吧。按照这个说法，对x的偏导数就是x方向的方向导数，对y的偏导数就是y方向的方向导数咯。

插曲结束。

∂x与dx其实是同一个东西，可以约掉变成dz=∂z+∂z。但是这明显不对，两个∂z其实是有区别的，第一个是沿着x方向z的变化，一个是沿着y方向z的变化，不妨区分一下写成dz=∂xz+∂yz。

这告诉我们由于x,y的变化，造成的z的变化可以分解成两个部分相加，由x变化造成的∂xz，由y变化造成的∂yz。就像在矢量分解一样。OP=dr=(dx,dy)。如果记P点与O点z值的差别为z(OP)那么，z(OP)=z(OA)+z(OB)。

刚才讲到，偏导数是沿着x(或y)方向的方向导数，你说我要是想算别的方向的方向导数怎么办呢？事实上，用z(OP)除以OP的长度就行。dx=cosθdr, dy=sinθdr，于是dz=Acosθdr+Bsinθdr，dz/dr=Acosθ+Bsinθ。其中θ是dr的方向角。同时你会发现，方向导数其实就是列向量[A，B]^T和dr的方向矢量的内积。

我们把列向量[∂f/∂x，∂f/∂y]^T叫做梯度。当dr方向与梯度相同时方向导数最大，垂直时方向导数为0。梯度告诉了我们某一点方向导数最大的方向以及此时的大小。

注意到全微分的式子，dz是关于dx,dy的线性组合，可以写成矩阵相乘的形式，还可以写成两个向量内积的形式。那么[dx,dy]组成了一个向量。事实上他就是dr。如果dr与梯度垂直那么dz=0也就是z不变化，此时dr的方向正好在dz=0的等高线切线的方向上。事实上，如果令dz=0;那么Adx+Bdy=0这条线就是dz=0的等高线（微分方程）。梯度的方向正好是这一点处等高线的法线方向（往z增大的方向）。沿着等高线的法线方向走，函数值的变化最为剧烈。大小是这个方向的方向导数的大小。

作者声明：

此文为bilibili up主 unidentified2015（uid：8574629）原创文章。本文禁止转载。

稍微吐槽一下：这篇文章我酝（摸）酿（鱼）了3个月，终于发布了，这只是前半章，后半章节不知道要摸到多久了，但是肯定不会咕咕咕的。_(:з」∠)_

（超级大误） 我们来简单的谈一下为什么交换混合偏导数的顺序不改变计算结果，也就是

首先我们刚才了解了f的梯度就是[∂z/∂x，∂z/∂y]^T，然后众所周知的是，任何梯度的旋度是为0的。所以你求一下刚才那个梯度的旋度。如果你忘了旋度怎么求，我来告诉你[P,Q]^T的旋度是∂Q/∂x-∂P/∂y。所以上式成立。（滑稽）