在数学期望的性质里有一个性质:随机变量X和Y相互独立，有：E(XY) = E(X)E(Y).

事实上这里成立的充要条件是X和Y不相关即可。

那么问，相互独立与不相关的关系是什么呢？

独立性是指两个变量的发生概率一点关系没有；而相关性通常是指线性关系。如果两个变量不相关，指的是线性关系里不相关，但是不能说它们没有关系，可能是线性以外的其他关系。

即：独立一定不相关，不相关不一定独立

举个例子吧

Y = X 2         X ∈ [ − 1 , 1 ] Y = X^2 \ \ \ \ \ \ \ X∈ [-1,1] Y=X2       X∈[−1,1]

思考一下：x和y相关吗？相互独立吗？

我们很容易看出来x和y显然是不独立的。因为y的值会随着x而改变。

是否相关呢？

我们可以用协方差来证明！

C o v ( X , Y ) = 1 N − 1 ∑ i = 1 N ( x i − x ˉ ) ( y i − y ˉ ) Cov(X,Y) = \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) Cov(X,Y)=N−11​i=1∑N​(xi​−xˉ)(yi​−yˉ​)

观察图二，我们的图像是关于x=0对称的，因此容易得知x的平均值 x ˉ \bar{x} xˉ就是为0。进而容易知道Cov(X,Y)=0，即X，Y不相关！！！