定理： 设函数y=f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导。 (1)如果在(a，b)内f(x)≥0，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数y=f(x)在[a，b]上单调增加; (2)如果在(a，b)内f(x)≤0，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数y=f(x)在[a，b]上单调减少。

证明思路： 利用拉格朗日中值公式，可以正得任意两点的函数值差等于某点导数与两点x值的差的乘积，因此x值的差决定了函数值的差的符号。

另外对于导数为0的点，将区间分成了2部分，每部分的单调性跟随导数的值与自变量的差的值，这表明两个区间的单调性遵循定理的要求，则两个区间叠加后也会遵循。

函数曲线的上升或下降反映了函数的单调性，而曲线在上升或下降过程中，还存在一个弯曲方向的问题，如图：

都是上升曲线，曲线ACB向上凸起，而ADB则向下弯曲。

曲线的凹凸性在几何图形上的描述：通过曲线上任取两点，如果连接这两点的直线（弦）总是位于这两点曲线弧的上方，则曲线是向下弯曲（凹），如果弦总是位于曲线弧的上方，则曲线是向上凸的。

曲线的凹凸性函数形式的表达： 设f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x1、x2恒有： 那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧)，如果恒有： 那么称/(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧)。

设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么 (1)若在(a,b)内f”(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的; (2)若在(a,b)内f”(x)x1，然后取x0=(x1+x2)/2，记h=x0-x1=x2-x0，分别对区间[x1,x0]、[x0,x2]应用柯西中值定理，得到的两个式子相减后再应用柯西中值定理，如果函数f(x)的二阶导数大于0，就可以得到：

设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义，如果对于去心邻域U°(x0)内的任一x，有 f(x)f(x0))，那么就称f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值)。

备注：去心邻域实际的表示不是U°，而是在U上面一个小圈，但无法用文字输入，因此老猿所有的博文都用了U°来表示，实际的符号应该是：

函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。

函数的极大值和极小值概念是局部性的。如果f(x0)是函数f(x)的一个极大值，那是就x0附近的一个局部范围来说，f(x0)是f(x)的一个最大值，如果就f(x)的整个定义域来说f(x0)不见得是最大值。关于极小值也类似。

在图3-11中，函数f(x)有两个极大值：f(x2)、f(x5)，三个极小值：f(x1)、f(x4)、f(x6)，其中极大值f(x2)比极小值f(x0)还小。就整个区间[a，b]来说，只有一个极小值f(x1)同时也是最小值，而没有一个极大值是最大值。

定理：设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则f’(x0)=0。

定理1就是说：可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点，但反过来，函数的驻点却不一定是极值点。

例如，f(x)=x3的导数f’(x)=3x2，f’(0)=0，因此x=0是这可导函数的驻点，但x=0却不是这函数的极值点。

所以，函数的驻点只是可能的极值点。此外，函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值。

定理：设函数f(x)在x0处连续，且在x0的某去心邻域U°(x0,δ)内可导。 (1)若x∈(x0-δ,x0)时，f’(x)>0，而x∈(x0,x0+δ)时，f’(x)