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由展开
e
=
1
+
1
1
!
+
1
2
!
+
1
3
!
.
.
.
1
e
=
1
+
1
1
!
−
1
2
!
−
1
3
!
.
.
.
e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}...\\ \\\frac1 e=1+\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}...
e=1+1!1+2!1+3!1...e1=1+1!1−2!1−3!1... 数学神仙欧拉借助极限
lim
x
→
∞
x
!
(
x
+
1
)
n
(
x
+
n
)
!
=
1
\lim_{x \to \infty }\frac{x!(x+1)^ n}{(x+n)!}=1
x→∞lim(x+n)!x!(x+1)n=1写出来如下积分，伽马函数:
Γ
(
n
)
=
∫
0
∞
x
n
−
1
e
−
x
d
x
\Gamma(n)=\int _ 0 ^ \infty \mathrm x^{ n-1}{ e } ^ { -x } \,\mathrm { d } x
Γ(n)=∫0∞xn−1e−xdx 其存在如下规律:
Γ
(
1
)
=
1
Γ
(
n
+
1
)
=
n
Γ
(
n
)
Γ
(
n
)
=
(
n
−
1
)
!
\Gamma(1)=1\\ \Gamma(n+1)=n\Gamma(n)\\ \Gamma(n)=(n-1)!
Γ(1)=1Γ(n+1)=nΓ(n)Γ(n)=(n−1)! 因此伽玛函数公式有：
Γ
(
n
+
1
)
=
∫
0
∞
x
n
e
−
x
d
x
=
n
!
\Gamma(n+1)=\int _ 0 ^ \infty \mathrm x^{ n}{ e } ^ { -x } \,\mathrm { d } x = n!
Γ(n+1)=∫0∞xne−xdx=n!
其按照阶乘的方式发展，结果的简单推导如下：
Γ
(
n
+
1
)
=
∫
0
∞
x
n
e
−
x
d
x
=
[
−
x
n
e
−
x
]
0
∞
+
∫
0
∞
n
x
n
−
1
e
−
x
d
x
=
lim
x
→
∞
(
−
x
n
e
−
x
)
−
(
0
e
−
0
)
+
n
∫
0
∞
x
n
−
1
e
−
x
d
x
=
n
∫
0
∞
x
n
−
1
e
−
x
d
x
=
n
Γ
(
n
)
\begin{aligned} \Gamma(n+1) &=\int_{0}^{\infty} x^{n} e^{-x} d x \\ &=\left[-x^{n} e^{-x}\right]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty} n x^{n-1} e^{-x} d x \\ &=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(-x^{n} e^{-x}\right)-\left(0 e^{-0}\right)+n \int_{0}^{\infty} x^{n-1} e^{-x} d x \\ &=n\int _ 0 ^ \infty \mathrm x^{n-1}{ e } ^ { -x } \,\mathrm { d } x\\ &=n\Gamma(n) \end{aligned}
Γ(n+1)=∫0∞xne−xdx=[−xne−x]0∞+∫0∞nxn−1e−xdx=x→∞lim(−xne−x)−(0e−0)+n∫0∞xn−1e−xdx=n∫0∞xn−1e−xdx=nΓ(n)
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