在不能解 y 的情况下求导数

你也许想先去阅读 导数入门 和 导数法则。

函数可以是显函数或隐函数：

显函数："y = x 的某个函数"，若已知 x 则能直接求 y。

隐函数："y 和 x 的某个函数等于另一个式子"。 已知 x 不能直接求 y。

x2 + y2 = 32 的图

对 x 微分：

d dx (x2) + d dx (y2) = d dx (r2)

我们逐项来做：

得到：

2x + 2y dy dx = 0

把所有 dy dx 移到一边

y dy dx = −x

解 dy dx :

dy dx = −x y

我们仔细看看 d dx (y2) 怎样变成 2y dy dx

链式法则表明：

du dx = du dy dy dx

代入 u = y2：

d dx (y2) = d dy (y2) dy dx

得到：

d dx (y2) = 2y dy dx

另一个常见的记法是用 ’来代表 d dx

链式法则可以用 ’ 记法来表达：

f(g(x))’ = f’(g(x))g’(x)

g(x) 是函数 "y"，所以：

f(y)’ = f’(y)y’

f(y) = y2, so f’(y) = 2y:

f(y)’ = 2yy’

也可以写成：f(y)’ = 2y dy dx

我们现在用方程的显形式来求导数。

答案和上面是相同的！

你可以自己试试取负项的导数。

我们再用链式法则，像（不同的字母，但同一法则）：

dy dx = dy df df dx

代入 f = (r2 − x2):

d dx (f½) = d df (f½) d dx (r2 − x2)

取导数：

d dx (f½) = ½(f−½) (−2x)

代入 f = (r2 − x2)：

d dx (r2 − x2)½ = ½((r2 − x2)−½) (−2x)

我们可以简化下去来得到最后的答案。

为什么要求导数 y’= −x/y ？

一个例子是求切线的坡度。

简单，代入方程就行了：

dy dx = −x/y

dy dx = −3/4

额外资料：切线的方程是：

y = −3/4 x + 25/4

有时显微分法很困难或甚至不可能，但隐微分法却管用。

我们怎样解 y？ 其实我们不需要解 y！

像这样：

结果是：

中间的项我们用积法则：(fg)’ = f g’ + f’ g

因为 (y2)’  = 2y dy dx （在上面一个例子已经算出来了） 并且 dx dx = 1，(x)’ = 1

隐微分法可以帮助我们解反函数。

一般的规律是：

最后我们可以代回原来的方程来简化。

举个例：

我们用勾股三角恆等式来继续做下去：

sin2 y + cos2 y = 1

cos y = √(1 − sin2 y )

因为 sin(y) = x，所以：

cos y = √(1 − x2)

结果是：

dy dx = 1 √(1 − x2)

注意：我们用幂次方法则也可以得到一样的答案：