计算机是一个分层的信息编码系统（我之前说过）。

这个系统的层次结构从下往上依次为：数字电路，CPU指令集，汇编语言，C语言，操作系统，高级语言，应用程序。

之所以分层，是为了保证每层的实现都不会太复杂。

因为人脑的计算能力有限，（太复杂的东西）一旦超过了人脑的算力，人就hold不住了。

所以，当一个模块复杂到一定程度时，自然就要把它分层。

除法在汇编里是一条指令，在C语言里是一个运算符，但要想用电路去实现它并不容易。

加法的实现是很简单的，0 + 0 = 0, 1 + 0 = 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2 = 0b10.

所以加法的前3种情况就是个二进制的或运算（或门），最后一种情况是个与非门。

当个位的2个数字都是1时，与门的输出为1，但加法的输出为0，所以要取反（加个非门）。

进位的处理是个与门，当个位的2个数字都是1时，进位的输出为1（1 & 1 = 1）。

减法，当然是加上它的相反数。

抽象代数的域的定义里并没有减法，而只有加法的逆元。电路上对加减乘除的实现，实际上是按照抽象代数来的。

乘法，实际上是把乘法口诀的结果累加起来的。

我们考虑2个二进制位的乘法：

a + b * 2 = (c + d * 2)(e + f * 2)

              = ce + (de + cf) * 2 + [df * 4].

在只有2个二进制位的计算机上（2位机），右边第3个式子[df * 4]已经超过了计算机的寄存器位数，所以它会被溢出！

实际考虑的只是乘法结果的低位部分，这里是低2位。

显然，结果的第0位和第1位分别是：

a = ce % 2,

b = (ce / 2 + de + cf) % 2.

a, b, c, d, e, f都是二进制的数字（只能是0或1），这就是数字电路的乘法公式。

1个二进制位的乘法口诀就是与门电路：0 x 0 = 0 x 1 = 1 x 0 = 0, 1 x 1 = 1。

所以，乘法的电路可以用与门和加法实现！

这并不复杂，复杂的是除法:(

还是看上面的公式：

乘法相当于知道c, d, e, f， 求a, b，

除法相当于知道a, b, c, d，求 e, f.

但是求ab是正向运算，求ef是反向运算。

逆向总是很难的，因为信息的消失很难复原，但这里可以复原。

怎么复原？

已知 a = ce % 2，实际上只需要乘以“c的倒数”，就可以求出e的值。

这里的“倒数”并不是真正的倒数，而是在同余方程意义下的“数论倒数”。

在对2的幂同余的情况下：

1的倒数是1，因为 1 x 1 = 1，1 % 2 = 1，

3的倒数是3，因为 3 x 3 = 9，9 % 8 = 1，

5的倒是是13，因为 5 x 13 = 65，65 % 64 = 1，

依次类推，......

所以在低位机上计算高位除法，最关键的就是求出低位整数的数论倒数！

怎么在32位机上计算64位的除法？

只要能在32位机上计算出32位整数（在同余2^32的情况下）的倒数，就可以解决64位的除法。

这个倒数怎么求？至少可以拿for循环去试验啊。

不是把32位一起处理，而是一个个的（二进制位）依次处理的情况下，实际上并不需要求一个大整数的数论倒数。

a = ce % 2，其中c肯定是1！

因为如果c是0的话，除数就是2的倍数，可以用移位来代替除法。

如果除数的第0位是0，显然把它和被除数同时右移1位，不会影响除法的结果（它们至少有1个公约数2）。

所以，真正需要除法电路去处理时，除数的个位必然是1。

根据二进制的那唯一一条乘法口诀 1 x 1 = 1，所以e = a。

因为ce都是二进制数字，显然 ce / 2 = 0，所以b = (de + cf) % 2。

所以，除法实际上也是用与门和加法实现的。

二进制计算机上的整数除法，是一个递归求解同余方程组的问题。

如果用软件实现这个算法的话，上图的代码只能一行行的执行，速度很慢。

但如果是硬件电路的话，所有的步骤都是并行的，电路会瞬间进入稳定状态，给出运算结果。

为什么C语言的书上要求尽量用移位代替（2的幂的）除法？

因为早期的CPU不一定有硬件除法。

具体的电路图我还没有试验，等我试验好了再给出来。