你的句子中之所以用过去分词 written，主要是因为它与 words 之间为被动关系。

句意：If you are learning new words, it is wise to use small cards with the words written on them. 如果你正在学习生词，明智的做法是使用其上写有单词的小卡片。

在“with+宾语+非谓语动词”中，若表示动作在进行，则用现在分词；若表示与宾语之间为被动关系，则用过去分词；若表示有某事要做，则用不定式：

(1) with+宾语+现在分词

He fell asleep with the lamp burning. 他没熄灯就睡着了。

I won’t be able to go on holiday with my mother being ill. 因为妈妈有病, 我无法去度假。

(2) with +宾语+过去分词

He sat there with his eyes closed. 他闭目坐在那儿。

All the afternoon he worked with the door locked. 整个下午他都锁着门在房里工作。

(3) with +宾语+动词不定式

I can’t go out with all these clothes to wash. 要洗这些衣服, 我无法出去了。

With such good cadres to carry out the Party’s policy we feel safe. 有这样的好干部执行党的政策, 我们感到放心。