检验 H 0 : θ = θ 0 ,   H 1 : θ ≠ θ 0 H_0:\theta = \theta_0, \ H_1:\theta \ne\theta_0 H0​:θ=θ0​, H1​:θ=θ0​，如若 θ ^ \hat{\theta} θ^是渐进正态的，则显著水平为 α \alpha α的Wald检验是当 ∣ W ∣ > z α / 2 |W|>z_{\alpha/2} ∣W∣>zα/2​时拒绝原假设，其中 W = θ ^ − θ 0 s e ^ . W=\frac{\hat{\theta}-\theta_0}{\hat{se}}. W=se^θ^−θ0​​.

Wald检验是易于理解的，首先阐述了估计量是渐进正态的，则在大样本下 W W W就是标准正态变量，当满足 ∣ W ∣ > z α / 2 |W|>z_{\alpha/2} ∣W∣>zα/2​意味着W出现的概率已经小于 α \alpha α. 这一点可以通过下面的等式说明： z α = Φ ( 1 − α ) P θ ( θ ^ − θ 0 s e ^ > z α / 2 ) + P θ ( θ ^ − θ 0 s e ^ < − z α / 2 ) = P θ ( ∣ θ ^ − θ 0 ∣ s e ^ > z α / 2 ) → P θ ( ∣ Z ∣ > z α / 2 ) → α \begin{aligned} &z_{\alpha}=\Phi(1- \alpha)\\ &P_\theta(\frac{\hat{\theta}-\theta_0}{\hat{se}}>z_{\alpha/2})+ P_\theta(\frac{\hat{\theta}-\theta_0}{\hat{se}}z_{\alpha/2})\\ &\rightarrow P_\theta(|Z|>z_{\alpha/2})\\ &\rightarrow \alpha \end{aligned} ​zα​=Φ(1−α)Pθ​(se^θ^−θ0​​>zα/2​)+Pθ​(se^θ^−θ0​​zα/2​)→Pθ​(∣Z∣>zα/2​)→α​ 定理：考虑 θ \theta θ的真实值为 θ ∗ ≠ θ 0 \theta^* \ne \theta_0 θ∗=θ0​，也就是原假设为加的时候的势函数(Power Function)大小，其近似值为： 1 − Φ ( θ 0 − θ ∗ s e ^ + z α / 2 ) + Φ ( θ 0 − θ ∗ s e ^ − z α / 2 ) 1-\Phi(\frac{\theta_0-\theta^*}{\hat{se}}+z_{\alpha/2})+\Phi(\frac{\theta_0-\theta^*}{\hat{se}}-z_{\alpha/2}) 1−Φ(se^θ0​−θ∗​+zα/2​)+Φ(se^θ0​−θ∗​−zα/2​) Proof: β ( θ ∗ ) = P θ ∗ ( ∣ θ ^ − θ 0 s e ^ ∣ > z α / 2 ) = P θ ∗ ( θ ^ − θ 0 s e ^ > z α / 2 ) + P θ ∗ ( θ ^ − θ 0 s e ^ < − z α / 2 ) \begin{aligned} \beta(\theta^*) &= P_{\theta^*}(|\frac{\hat{\theta}-\theta_0}{\hat{se}}| >z_{\alpha/2})\\ &=P_{\theta^*}(\frac{\hat{\theta}-\theta_0}{\hat{se}} >z_{\alpha/2})+P_{\theta^*}(\frac{\hat{\theta}-\theta_0}{\hat{se}} zα/2​)=Pθ∗​(se^θ^−θ0​​>zα/2​)+Pθ∗​(se^θ^−θ0​​ z α / 2 ) = P θ ∗ ( θ ^ > θ 0 + s e ^ z α / 2 ) = P θ ∗ ( θ ^ − θ ∗ > θ 0 − θ ∗ + s e ^ z α / 2 ) = P θ ∗ ( θ ^ − θ ∗ s e ^ > θ 0 − θ ∗ + s e ^ z α / 2 s e ^ ) = P θ ∗ ( θ ^ − θ ∗ s e ^ > θ 0 − θ ∗ s e ^ − z α / 2 ) ≈ P θ ∗ ( Z > θ 0 − θ ∗ s e ^ − z α / 2 ) = 1 − Φ ( θ 0 − θ ∗ s e ^ − z α / 2 ) \begin{aligned} \beta(\theta^*) &=P_{\theta^*}(\frac{\hat{\theta}-\theta_0}{\hat{se}} >z_{\alpha/2})\\ &=P_{\theta^*}(\hat{\theta}>\theta_0+\hat{se} z_{\alpha/2})\\ &=P_{\theta^*}(\hat{\theta}-\theta^*>\theta_0-\theta^*+\hat{se} z_{\alpha/2})\\ &=P_{\theta^*}(\frac{\hat{\theta}-\theta^*}{\hat{se}}>\frac{\theta_0-\theta^*+\hat{se} z_{\alpha/2}}{\hat{se}})\\ &=P_{\theta^*}(\frac{\hat{\theta}-\theta^*}{\hat{se}}>\frac{\theta_0-\theta^*}{\hat{se}}-z_{\alpha/2})\\ &\approx P_{\theta^*}(Z>\frac{\theta_0-\theta^*}{\hat{se}}-z_{\alpha/2})\\ &=1-\Phi(\frac{\theta_0-\theta^*}{\hat{se}}-z_{\alpha/2}) \end{aligned}\\ β(θ∗)​=Pθ∗​(se^θ^−θ0​​>zα/2​)=Pθ∗​(θ^>θ0​+se^zα/2​)=Pθ∗​(θ^−θ∗>θ0​−θ∗+se^zα/2​)=Pθ∗​(se^θ^−θ∗​>se^θ0​−θ∗+se^zα/2​​)=Pθ∗​(se^θ^−θ∗​>se^θ0​−θ∗​−zα/2​)≈Pθ∗​(Z>se^θ0​−θ∗​−zα/2​)=1−Φ(se^θ0​−θ∗​−zα/2​)​

对于任意 α ∈ ( 0 , 1 ) \alpha \in(0,1) α∈(0,1)，存在显著性水平为 α \alpha α的检验，对应的拒绝域为 R α R_\alpha Rα​，则 p − v a l u e = inf ⁡ { α : T ( X n ) ∈ R α } p-value = \inf\{\alpha:T(X^n)\in R_\alpha \} p−value=inf{α:T(Xn)∈Rα​} 这里 T T T表示检验统计量，上式的含义是使得检验统计量属于拒绝域的最小显著水平 α \alpha α。

和检验的过程不同，求取p-value的过程是这样的：先计算检验统计量，得到统计量之后反过来求最小显著水平。而检验的过程是已经确定一个显著水平，然后计算检验统计量，然后就确定是否拒绝原假设。

一般来说，这个最小显著水平p-value小于0.01时，说明证据可以很强的拒绝原假设。这等同于说，在原假设的情况下，出现这一组样本的概率可能最低达到0.01.（个人理解）当显著水平大于0.1时，不能拒绝原假设。