1.什么是t检验？

t检验是一种用于比较两个样本均值之间差异是否显著的统计方法。它通常用于以下几种情况：

（1）单样本 t 检验：用于检验一个样本的平均值是否与一个已知的总体平均值（或者一个假设的总体平均值）有显著差异。

（2） 独立样本 t 检验：用于比较两个不相关样本的平均值是否有显著差异。

（3） 配对样本 t 检验：用于比较两个相关样本的平均值是否有显著差异。

t检验的原理基于t 分布，它考虑了样本的大小和标准误差，以及样本均值之间的差异。在进行t 检验时，我们首先计算t 统计量，然后根据 t分布表或软件工具确定对应的P 值，最后根据显著性水平（通常为0.05）对 P 值进行解释，以决定是否拒绝原假设。如果 P 值小于显著性水平，我们就有充分的理由拒绝原假设，即认为两个样本均值之间存在显著差异。

下面通过三个实验来解释单样本t检验、独立样本t检验和配对样本t检验。

实验一：单样本t检验

假如你在一家灯泡厂工作，研发部门设计了一款新灯泡，老板给了你10个新灯泡的随机抽样使用寿命的数据，并且告诉你，旧灯泡的平均使用寿命是650小时，他想知道新灯泡与旧灯泡在使用寿命上有没有差异？

老板给你的数据如下图：

要判断新灯泡与旧灯泡在使用寿命上是否有显著差异，可以使用单样本 t 检验。

首先，我们需要设立假设：

零假设（H0）：新灯泡的平均使用寿命等于旧灯泡的平均使用寿命，即 μ = 650。

备择假设（H1）：新灯泡的平均使用寿命不等于旧灯泡的平均使用寿命，即 μ ≠ 650。

然后，我们计算样本的均值和标准差：

（计算结果来自chatgpt，不一定准确，看个过程就行了）

接下来，我们计算 t 统计量： 最后，我们根据 t 分布表或者软件工具，以及设定的显著性水平，查找对应的P 值。

经过计算得到：

t 统计量: 11.515668433444345

P 值: 1.0928281446144152e-06

P 值非常接近于零，远小于通常的显著性水平0.05。因此，我们可以得出结论，新灯泡与旧灯泡在使用寿命上存在显著差异。

实验二：独立样本t检验

假如你的老板并不知道旧灯泡的使用寿命怎么办？那我们只能对旧灯泡也进行随机抽样，两样本是相互独立的，所以我们进行独立样本t检验。

下图是新旧灯泡的随机抽样数据：

首先，我们将计算两组数据的均值和标准差，然后使用独立样本t 检验来比较这两组数据的均值是否存在显著差异。

用软件算更容易些，

这里的 t 统计量是 11.074，表示两组样本的平均值之间的差异相对于它们的方差的大小。而 P 值非常接近于零。因此，我们可以得出结论，两种灯泡的平均使用寿命之间存在显著差异。

第三次实验：配对样本t检验

假设为了避免线路和电压对测试结果的影响，老板决定用相同的线路和电压对新旧灯泡进行配对测试。我们需要用到配对t检验来判断新旧灯泡的使用寿命差别是否显著。

实验得到的数据如下图：

配对 t 检验用于比较同一组中两个相关样本的均值是否有显著差异。

首先，让我们计算每对数据的差值，然后计算这些差值的平均值、标准差和样本数量。接下来，我们将使用配对t 检验来确定这些差异是否显著。

差值 = 新灯泡使用寿命 - 旧灯泡使用寿命

用代码算一下结果，

P值大于0.05，所以我们没办法说两组灯泡有显著差异。