从统计表中我们发现，这道题的两个填空出错率极高，第3空全校的平均正确率仅为36.3%，第4空全校的平均正确率仅为43.6%。这个典型错例引发了笔者对小数除法算理教学的深入思索。

追踪寻因

在考试前，学生曾经做过类似的题目：把29升饮料装入容量为1.25升的瓶子，最多可以装满（ ）瓶，还剩下饮料（ ）升，统计此题的正确率仅为42.4%。为此笔者对期末和类似题解答错误的情况进行了统计，出现的典型错误主要是：

1.期末调研题的情况：

从统计来看，直接从竖式中填写约占总人数的51.1%。有一半的学生对于小数除法竖式中的意义是不理解的。

2.类似题的情况：

从答案正确的学生中，访谈他们的思考过程。

随机调查中，学生对于剩余的结果，不是从除法竖式中截取，而是通过求出23个瓶装了多少，再从总数中减出装了的数量。由此可见，学生对于小数除法竖式各部分的理解是极度缺失的。

分析可知，错题出现的原因在于学生对小数除法意义的理解，很多学生对小数除法的计算方法很熟练，对于竖式计算中每一步表示的意义却缺乏理解。教学实践中，部分教师只重视计算的算法教学，忽视了学生对算理的理解，特别是高年级很容易忽视算理的理解。因此，我们需要寻求培养学生小数运算算理的有效途径。

对策思考

这个典型错例让笔者深受触动，于是对除法进行了较为全面较为深入的学习，对除法有了新的认识。

除法竖式是从二年级下册第六单元有余数除法中除法竖式的初步认识开始，到五年级上册第三单元小数除法竖式为止。

从上表中，我们清楚的看到了除法竖式共安排在4册，共约18个例题。分别从整数除法到小数除法，从够除到不够除，从一步到多步的除法。从例题中，我们可以发现例题每次的说明都是为了推进除法竖式的进行，但我们每看到竖式中每一步表示的实际含义。在教材中出现了两次用商不变性质解决，一次在第八册的例10:840÷50，同时划去0在竖式中余下4，讨论4表示什么？第二次在第9册的例4一步解决，例5两步解决可是没有具体情境，这两个例题都没有说明余下表示什么？

有关小数除法的解决问题编排如下：

在小数除法解决问题中，进一法和去尾法在例题中都是给出了最后的答案；没有给出竖式，更没有给出结合解决问题每一步的含义。

对照小数除法计算和学生出现的典型错误，谈谈自己对这部分知识的重新思考。

（一）在教材中有无处，精准把握

从教材中，我们会发现除法算式中各部分的名称，在二年级下册的第6单元中例3出现了有余数的竖式的各部分名称。通过动手操作，学生多种感官协同作用，从而理解每个数表示的含义，并理解每一步的意义。

例3：13根小棒，每4根摆一个正方形，结果怎么样？

【课堂链接】

教师为学生准备13个小棒。要求：

（1）分一分。从13里面，拿出3个4根；最后剩下1根。

（2）记一记。把刚刚分的过程，用数学方法记一记。

（3）说一说。每一个数字表示什么意思？

这一环节，学生先在头脑中“想”，再把想的过程用除法竖式来表示。顺序为：除→乘→减。在竖式中让学生理解每个数的含义后，还要让学生理解每个数在具体情境中的含义：如，12表示4×3的积，还表示分了4×3根小棒；1表示余数，还表示剩下1根不能组成正方形。

在小数除法中，就如北师大版中的例题：

【课堂链接】

在小数除法的竖式中，让学生来理解各数表示的含义。

生1：9表示的是0.9元。

生2：9表示9角。

生3：9表示的是9个十分之一，因为它在十分位上。

在这一提问中，让学生知道小数除法与整数除法在计算的时候是一样的，但在表示的意义是不一样的。

在某版例题中，用的情境1千米比较难让学生理解竖式余下的含义。当我们看到教材中没有出现各数表示的意思时，我们要借助其他的版本来理解各数表示的意义。精准的把握除法算式中的含义。

（二）在知识点转化处，重点对比

在学生学习好除法的竖式后，当出现变化时，教师要及时的对不同点进行对比。如：

【课堂链接】

利用商不变性质进行计算时，使我们的计算更加的简便。但是这个“4”表示的是什么呢？

让学生展开讨论？

师：你猜它可能表示多少呢？

生1：4表示4

生2:4表示40

师：到底哪种说法正确呢？你有什么好办法验证呢？

生独立完成

最后得出是40是正确的。

师：看到明明是4怎么就变成40了呢？

生3:4在十位上，余下的是40。

师：根据商不变性质，不是不变的吗？

生讨论得出：商不变性质，只是商不变，余数还是会发生变化，所以看余数要看位数，而不能只看数字。这样的结论将在小数除法中应用。

除数是整数除法例题：

除数是小数除法的例题：

从上面两个例题来看，在小数除法中除数是整数的除法中，有解释24表示的含义，但在除数是小数的除法中，没有给出解释。此时，教材的重点在关注如何计算除数是小数的除法，但在后续的教学中也没有给出解释，所以在考试中学生是不清楚的。

作为教师的我们要在此处补入一节课，通过对比让学明白当除数是小数时，商不变，但竖式中的余数的含义是根据原来的位数决定的。

师：借助图来看一看，扩大后的3表示什么，51表示什么？

生1：3表示3个0.1,51表示51个0.1。

师：5下面的3表示什么？余下的21表示什么？

借助图让学生理解小数除法的算理，通过直观观察对比，让学生能明白具体的含义。在教材的断层处，我们要及时补漏。

（三）在学生们困惑处，适时点拨

在小数除法的解决问题中，没有出现竖式，对于余下的是通过计算获得的。此时我们要利用小数除法的竖式来理解，并进一步理解小数除法竖式中的每步的意义。

【课堂链接】

师：这位同学求剩余的方法对不对？你有更好的方法吗？

生1：只用看除出整数23后，竖式的余数就可以。

师：你们都同意吗？我看到的是25，难道余下的是25升吗？

学生小组讨论：25表示25个0.01，余数要看位数来决定的。

经过对这道题目的统计，错得触目惊心；通过对小数除法竖式的系统梳理，我们发现要关注学生的困惑点，教材并不是完美的。根据学生学习的困难，在教材没有处，进行补充；在教材断层处，进行教材不同版本的互补；在学生的困惑处，及时点拨。

5

笑一笑

逻辑学的用处

有个学生请教爱因斯坦逻辑学有什么用？

爱因斯坦问他：“两个人从烟囱里爬出去，一个满脸烟灰，一个干干净净，你认为哪一个该去洗澡？”

“当然是脏的那个。”学生说。

“不对。脏的那个看见对方干干净净，以为自己也不会脏， 哪里会去洗澡？”

审核人：范世伟 李明哲返回搜狐，查看更多