热传导方程式（或称热方程）是一个重要的偏微分方程，它描述一个区域内的温度如何随时间变化。热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用方程式表达，其中u =u(t, x, y, z) 表温度，它是时间变量 t 与 空间变量 (x,y,z) 的函数。 /是空间中一点的温度对时间的变化率。 uxx, uyy 与 uzz 温度对三个空间坐标轴的二次导数。k决定于材料的热传导率、密度与热容。如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程唯一解，必须指定 u 的边界条件。如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。

ode45 的ode是常微分方程的意思，也就是只有一个自变量

你的方程有dt 有dx，两个自变量 这个是偏微分方程 用ode是解决不了的，参考一下pdetool

上面采用的方法可以推广到许多不同方程。想法是：在适当的函数空间上，算子 可以用它的特征向量表示。这就自然地导向线性自伴算子的谱理论。考虑线性算子Δu=ux x，以下函数序列（n≥ 1）是 Δ 的特征向量。诚然：此外，任何满足边界条件f(0)=f(L)=0 的 Δ 的特征向量都是某个en。令 L(0,L) 表 [0,L] 上全体平方可积函数的向量空间。这些函数en构成 L(0,L) 的一组正交基底。更明白地说：最后，序列 {en}n∈N张出 L(0,L) 的一个稠密的线性子空间。这就表明我们实际上已将算子 Δ对角化。

在粒子扩散的模性中，我们考虑的方程涉及在大量粒子集体扩散的情况：粒子的体积浓度，记作c。 或者在单一粒子的情况：单一粒子对位置的机率密度函数，记作P。 不同情况下的方程式：或者c与P都是位置与时间的函数。D是扩散系数，它控制扩散速度，通常以米/秒为单位。如果扩散系数D依赖于浓度c（或第二种情况下的机率密度P），则我们得到非线性扩散方程。单一粒子在粒子扩散方程下的随机轨迹是个布朗运动。如果一个粒子在时间t= 0 时置于 ，则相应的机率密度函数具有以下形式：它与机率密度函数的各分量Rx,RyandRz的关系是：随机变量Rx,Ry,Rz服从平均数为 0、变异数为 的正态分布。在三维的情形，随机向量 服从平均数为 、变异数为 的正态分布。在t=0时，上述 的表示式带有奇点。对应于粒子处在原点之初始条件，其机率密度函数是在原点的狄拉克δ函数，记为 （三维的推广是 ）；扩散方程对此初始值的解也称作格林函数。 格林函数是扩散方程在粒子位置已知时的解（数学家称之为扩散方程的基本解）。当粒子初始位置在原点 时，相应的格林函数记作 （t>0）；根据扩散方程对平移的对称性，对一般的已知初始位置，相应的格林函数是 。对于一般的初始条件，扩散方程的解可以透过积分分解为一族格林函数的叠加。举例来说，设t=0时有一大群粒子，根据浓度分布的初始值 分布于空间中。扩散方程的解将告诉我们浓度分布如何随时间演化。跟任何（广义）函数一样，浓度分布的初始值可以透过积分表为狄拉克δ函数的叠加：扩散方程是线性的，因此在之后的任一时刻t，浓度分布变为：在粒子扩散的情形，我们可以将狄拉克δ函数对应的初始条件理解为粒子落在一个已知位置。一般而言，任何扩散过程的解都有这种表法，包括热传导或动量的扩散；后者关系到流体的黏性现象。一维格林函数解列表以下以简写 BC 代表边界条件，IC 代表初始条件。