Abstract: 本文介绍继期望之后分布的另一个重要数学性质，方差Keywords: Variance,Standard Deviation

这两天更新有点频繁，但是没办法，必须快速的完成的基础知识积累，毕竟时间是有限的，还要留出更多的时间用于更进一步的深入研究，打牢基础的同时尽可能的提升速度。

如果我虚度光阴，那就请结束我的一生。如果你用奉承掐媚愚弄我，那我便自得取乐，如果你用荣华富贵诱惑我，那即便我的末日来临，我也要赌个输赢！

虽然期望很有用，但是并不能够完全的反应分布的信息，这么思考，首先，一个分布是一个公式确定的，这个公式的结构，和参数，如果能用一个参数全部概括，那么我们就有了一个超级模型一样的东西，这显然是不存在的，所以我们要用更多的数字特征来描述，代表一个分布的样子。本文我们就介绍一款特征可以表示分布的离散程度（英文叫 “spread out”）——方差，他的衍生小弟叫做标准差是他的平方根，目前还不知道有啥特殊用途。

先举个例子，股票。。一个股波动范围在 $[25,35]$ 之间，均匀分布，第二个股分布在 $[15,45]$ 之间的均匀分布。那么其图像显示如下：

可见这个图像上，均值一致，都是30，但是分布有着明显区别，我们开始介绍我们的主角——“方差”

Definition Variance/Standard Deviation.Let $X$ be a random variable with finite mean $\mu=E(X)$ ,The variance of $X$ denoted by $Var(x)$ ,is defined as follows:$$Var(X)=E[(X-\mu)^2]$$

上面是关于方差和标准差的定义，首先随机变量的必须有一个有限的期望，然后再这个期望的基础上，每个变量和均值做差然后求其平方的期望，一共两步，用到了两次期望，可见方差其实就是随机变量函数的期望，而这个函数内又包含期望的运算。注意无限的均值，或者不存在均值，都会导致方差无法计算，这是我们说随机变量没有方差，比如柯西分布，没有均值，也就没有方差，可见不是所有分布都有均值和方差的，同样，后面所有用到期望求的数字特征都没有。方差用希腊字母 $\sigma^2$ 表示，标准差用希腊字母 $\sigma$ 表示，这是单个变量的分布时，当有多个变量的时候只需要对$\sigma$ 加以区分就可以，比如加下标 $\sigma_a$ so so

那么我们来计算个🌰 ：计算上面例子中第一种股票的方差：在$[25,35]$ 的均匀分布$$Var(A)=\int^{35}_{25}(a-30)^2\frac{1}{10}da=\frac{1}{10}\frac{x^3}{3}\arrowvert^5_{x=-5}=\frac{25}{3}$$

上面的积分，和积分限的计算请自行打草稿，这里不再赘述了。下面开始看看方差有哪些定理

Theorem Alternative Method for Calculating the Variance.For every random variable $X$ , $Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$

这个定理中文不知道叫啥，二选一定理？不知道，反正结论是方差可以直接用两个期望计算，一个是随机变量的平方的期望，另一个是期望的平方。

证明：$$\begin{aligned}Var(X) & =E[(X-\mu)^2]\\& =E(X^2-2\mu X+\mu^2)\\& =E(X^2)-2\mu E(X)+ \mu^2\\& =E(X^2)-\mu^2\end{aligned}$$Q.E.D

简单的计算过程，用到的性质都是期望的性质，所以又不懂回到前两篇重新研究。

方差和标准差只取决于其分布，而且其实际意义就是随机变量对均值 $\mu$ 的离散程度，值越大说明越分散，相反，越小表示与均值越聚集。这里可以有个例子，这里我就不写啦，大家自己看书吧

学了定义，该学性质了，看起来方差的性质没有期望多，期望用了整整一课来说明，方差只是一个小section。

Theorem For each $X$ , $Var(X)\geq 0$ .If $X$ is a bounded random varibale,then $Var(X)$ must exist and be finite.

对于所有随机变量，其方差永远是大于等于零的，其为0的情况是当且仅当， $Pr(X=\mu)=1$如果 随机变量 $X$ 有界，那么其方差必然存在，并且是有限的。

这个定理的证明要靠概念，没有逻辑过程，首先根据定义，方差是个平方，所以其必然大于等于0，又因为方差存在与否取决于两个期望，如果这两个期望都存在，方差没有不存在的理由，故而有界随机变量存在期望，故成立，证毕。

Theorem $Var(X=0)$ if and only if there exists a constant c such that $Pr(X=c)=1$ ,then $\mu=c$ and $Pr[(X-c)^2=0]=1$

哈哈，刚才一不小心把这个定理先直播出来了，那么我们就直接证明，证明 if and only if 要证明两个方向：

假设存在一个随机变量 $X$ 和一个常数c 满足 $Pr(X=c)=1$ 那么 $E(X)=c$ 并且 $Pr[(X-c)^2=0]=1$ 然后就有了$$Var(X)=E[(X-c)^2]=0$$

反过来假设 $Var(X)=0$

Theorem For constant $a$ and $b$ let $Y=aX+b$ Then$$Var(Y)=a^2Var(X)$$and $\sigma_Y=|a|\sigma_X$定理表明线性关系下，随机变量的方差的变化证明：令 $\mu=E(X)$ 那么根据上一篇我们有 $E(Y)=aE(X)+b$$$\begin{aligned}Var(Y) & =E[(aX+b-a\mu-b)^2]=E[(aX-a\mu)^2]\\& =a^2E[(X-\mu)^2]=a^2Var(X)\end{aligned}$$

求平方根就能得到关于标准差的公式。当线性变换中 $a=1$ 的时候就变成给分布搬家了，而其形状完全不变：

图上就是搬家计算了，图例中最后一个是错的，应该是 $x-3$

根据上面定理还能推导出一些其他关系式，比如说：$$Var(-x)=Var(x)$$

Theorem If $X_1,\dots,X_n$ are independent random variable with finite means,Then$$Var(X_1+\dots +X_n)=Var(X_1)+\dots+Var(X_n)$$

独立随机变量之和的方差等去其方差之和，证明过程如下：证明：我们只证明两个独立随机变量的情况假设 $E[X_1]=\mu_1$ 以及 $E[X_2]=\mu_2$ 然后有$$E[X_1]+E[X_2]=\mu_1+\mu_2$$

那么$$\begin {aligned}Var(X_1+X_2)& =E[(X_1+X_2-\mu_1-\mu_2)^2]\\&=E[(X_1-\mu_1)^2+(X_2-\mu_2)^2+2(X_1-\mu_1)(X_2-\mu_2)]\\&=E[(X_1-\mu_1)^2]+E[(X_2-\mu_2)^2]+E[2(X_1-\mu_1)(X_2-\mu_2)]\\&=Var(X_1)+Var(X_2)+E[2(X_1-\mu_1)(X_2-\mu_2)]\end{aligned}$$根据随机变量期望的性质$$\text{When } X_1 \text{ and } X_2 \text{ are independent}\\E[2(X_1-\mu_1)(X_2-\mu_2)]=2\times E[(X_1-\mu_1)]E[(X_2-\mu_2)]=0$$证毕

这就是关于独立随机变量方差之间的关系，但是如果不是独立的随机变量，他们的方差会是什么样的呢？这是个很有意思的课题，后面我们会介绍相关话题。

Corollary If $X_1,\dots,X_n$ are independent random varibales with finite means,and if $a_1,\dots,a_n$ then$$Var(a_1X_1+\dots+a_nX_n)=a^2Var(X_1)+\dots+a_n^2Var(X_n)$$

这个推论的证明用到了上面两个已经被证明的定理，所以我们就不用证明了，没错，我又开始偷懒了。。

二项式分布的方差：独立同伯努利分布的随机变量的和是满足二项分布的随机变量，这个我们前面已经说过了，后面下一章还会再说，我们现在就假装知道他们是独立的就行，根据独立随机变量的方差性质。$$Var(X)=\sum^{n}_{i=1}Var(X_i)$$然后我们根据二选一定理，某个伯努利随机变量 $Var(X_i)=E(X_i^2)-[E(X_i)]^2$ 来计算方差，首先要得到 $X_i^2$ 的方差，因为伯努利分布只有0和1，那么$X_i^2$ 也是0和1，故 $X_i^2$ 的分布于原始 $X_i$ 的分布一样，均值是 $p$ （参考不努力分布的期望）那么，我们就有$$Var(X_i)=E(X_i^2)-[E(X_i)]^2=p-p^2$$这是对于某一个随机变量的方差，因为他们互不相关，所以把他们加起来就好了，最后结果：$$\begin{aligned}Var(X) & =\sum^{n}_{i=1} Var(X_i)\\& =\sum^{n}_{i=1}(p-p^2)\\&=np(1-p)\end{aligned}$$行了，就这么样了，二项分布的方差就是上面这个了。

我们是否还记得方差的实际意义，他描述的是分布距离均值的离散程度，方差可以没有，也就是说当期望不存在或者无限的时候，方差可以不存在，但是描述分布的离散程度，这个可以有啊，所以我们就提出个新的数字特征，这个特征能帮忙解决没有方差，比如柯西分布，这种特殊的分布的离散程度的刻画。

Definition Interquartile Range(IQR). Let X be a random varibale with quatile function $F^{-1}(p)$ for $0