这段时间在学习机器学习中有关不确定性和概率分布的知识，发现了VAE这样一个有趣的方向，想抓紧时间整理一下VAE的主要思想和方法，然后思考如何迁移应用到自己的研究方向上。

变分自编码器（Variational Auto-Encoders，VAE）是深度生成模型的一种形式（GAN也是其中一种），VAE是基于变分贝叶斯推断的生成式网络结构。传统自编码器是通过数值方式描述潜在空间的不同，而VAE以概率的方式描述潜在空间的不同，是一种无监督式学习的生成模型。

举个简单的例子说明变分自编码模型，输入一张照片，想描述其中人物的笑容，如果用笑/没笑这样的二分类/某个单值表示则显得不是很适合（注：单值表示则是自编码器模型的特点）。更好的表述应该是用一个区间范围来表示笑的概率大小，如下图即是通过VAE的编码（encoder）得到图片中笑的概率分布情况。

通过VAE，可以将每一个特征表示为概率分布。那么如何通过这个概率分布来生成新的数据呢？这个过程叫做解码（decoder），从每个潜在状态分布中随机采样，生成一个向量，作为解码器模型的输入，从而得到新生成的结果。如下图所示，一张图片中的人物几大特征（smile skin gender beard…）通过encoder编码后生成不同特征的概率分布，这样能使decoder重新构建我们的输入。

现在学习VAE的模型结构是什么样的。如下图所示，模型分为两个部分：推断网络（编码器encoder）和生成网络（decoder）。

在VAE中，假设 p ( Z ∣ X ) p(Z|X) p(Z∣X)（后验分布）是满足正态分布的。给定一个真实样本 K k K_k Kk​，假设存在一个专属于 X k X_k Xk​的分布 p ( Z ∣ X k ) p(Z|X_k) p(Z∣Xk​)，进一步假设这个分布是正态分布（独立的、多元的）。由于这个专属性，有多少个样本X就有多少个正态分布，能更好让decoder做还原。

变分自编码器和自编码器有什么根本上的区别呢？变分自编码器的encoder和decoder的输出都是受参数约束变量的概率密度分布，而自编码器是某种特定数值的编码。

想根据观察到的x，推断出潜在空间的分布： p ( z ∣ x ) = p ( x ∣ z ) p ( z ) p ( x ) p(z|x)=\frac{p(x|z)p(z)}{p(x)} p(z∣x)=p(x)p(x∣z)p(z)​ 计算 p ( x ) p(x) p(x)是很复杂的， p ( x ) = ∫ p ( x ∣ z ) p ( z ) d z p(x)=\int{p(x|z)p(z)}dz p(x)=∫p(x∣z)p(z)dz 通常是个复杂的分布，我们可以用变分推断来估计这个值。 我们用另一个分布 q ( z ∣ x ) q(z|x) q(z∣x)近似估计 p ( z ∣ x ) p(z|x) p(z∣x)，将 q ( z ∣ x ) q(z|x) q(z∣x)定义为具有可伸缩性的分布。 使用 q q q来推断可能隐藏的变量（潜在状态），这些变量可以用于生成观察值。我们可以进一步将这个模型构造成神经网络结构，其中编码器模型（encoder）学习从 x x x到 z z z的映射，解码器模型（decoder）学习从 z z z到 x x x的映射。

KL散度 KL散度是两个概率分布的差值，要想保证 q ( z ∣ x ) q(z|x) q(z∣x)与 p ( z ∣ x ) p(z|x) p(z∣x)尽可能相似，我们的目的即是最小化这个KL散度： m i n K L ( q ( z ∣ x ) ∣ ∣ p ( z ∣ x ) ) minKL(q(z|x)||p(z|x)) minKL(q(z∣x)∣∣p(z∣x)) 转换一下，通过最大化下式，即最小化了上式： E q ( z ∣ x ) l o g p ( z ∣ x ) − K L ( q ( z ∣ x ) ∣ ∣ p ( z ) ) E_{q(z|x)}logp(z|x)-KL(q(z|x)||p(z)) Eq(z∣x)​logp(z∣x)−KL(q(z∣x)∣∣p(z)) 其中， E q ( z ∣ x ) l o g p ( z ∣ x ) E_{q(z|x)}logp(z|x) Eq(z∣x)​logp(z∣x)表示重构的可能性， m i n K L ( q ( z ∣ x ) ∣ ∣ p ( z ∣ x ) ) minKL(q(z|x)||p(z|x)) minKL(q(z∣x)∣∣p(z∣x))表示要学习的分布 q ( z ∣ x ) q(z|x) q(z∣x)有多逼近真实的后验分布 p ( z ∣ x ) p(z|x) p(z∣x).

损失函数 损失函数包含两部分： L ( x , x ^ ) + K L ( q ( z ∣ x ) ∣ ∣ p ( z ) ) L(x,\hat{x})+KL(q(z|x)||p(z)) L(x,x^)+KL(q(z∣x)∣∣p(z))

分布标准化处理 有博主把这一部分写得非常清楚，借鉴一部分过来供大家理解学习，出处附在参考资料中。

重参数技巧（reparameterization trick） 为什么要用重参数技巧？在decoder过程中，我们要从 p ( z ∣ x ) p(z|x) p(z∣x)中采样一个 z z z出来，尽管采样的结果 p ( z ∣ x ) p(z|x) p(z∣x)是一个分布（已知高斯分布的参数，故可求导训练），但是随机采样这个过程是不可求导训练的。 如何解决这个问题？用重参数技巧。从 N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2)中采样一个 z z z出来，相当于从 N ( 0 , I ) N(0,I) N(0,I)中采样一个 ϵ \epsilon ϵ出来，然后做参数的线性变换让 z = μ + ϵ × σ . z=\mu+\epsilon\times\sigma. z=μ+ϵ×σ.

主要思想 将变分自编码器（VAE）迁移到图领域中（graph），将已知图通过图卷积层（GCN）编码（decoder），学习到节点向量表示的分布，在分布中采样得到节点的向量表示，然后解码（link prediction）重构图。

模型结构 输入：邻接矩阵A和特征矩阵X 过程：通过编码器（图卷积网络）学习节点低维向量表示的均值 μ \mu μ和方差 σ \sigma σ，然后用解码器（链路预测）生成图。 编码器是简单的两层GCN网络： q ( Z ∣ X , A ) = ∑ i = 1 N q ( z i ∣ X , A ) q(Z|X,A)=\sum_{i=1}^N q(z_i|X,A) q(Z∣X,A)=i=1∑N​q(zi​∣X,A) 其中， q ( z i ∣ X , A ) = N ( z i ∣ μ i , d i a g ( σ 2 ) ) q(z_i|X,A)=N(z_i|\mu_i,diag(\sigma^2)) q(zi​∣X,A)=N(zi​∣μi​,diag(σ2))， μ \mu μ是节点向量表示 μ = G C N μ ( X , A ) \mu = GCN_{\mu}(X,A) μ=GCNμ​(X,A)的均值， σ \sigma σ是节点向量表示的方差 l o g σ = G C N σ ( X , A ) log\sigma=GCN_\sigma(X,A) logσ=GCNσ​(X,A)。 两层卷积网络定义如下： G C N ( X , A ) = A ~ R e L U ( A ~ X W 0 ) W 1 GCN(X,A)=\widetilde{A} ReLU(\widetilde{A}XW_0)W_1 GCN(X,A)=A ReLU(A XW0​)W1​ 其中， A ~ = D ^ − 1 2 A ^ D ^ − 1 2 \widetilde{A}=\widehat{D}^{-\frac{1}{2}}\widehat{A}\widehat{D}^{-\frac{1}{2}} A =D −21​A D −21​， A ^ = A + I \widehat{A}=A+I A =A+I， D ^ \widehat{D} D 是 A ^ \widehat{A} A 对应的度矩阵。 值得注意的是， G C N μ ( X , A ) GCN_{\mu}(X,A) GCNμ​(X,A)和 G C N σ ( X , A ) GCN_\sigma(X,A) GCNσ​(X,A)共享参数 W 0 W_0 W0​，而各自的 W 1 W_1 W1​不同。采样过程和VAE相同，都是用了重参数技巧（reparameterization trick）。

解码器两两计算两点间存在边的概率来重构图： p ( A ∣ Z ) = ∑ i = 1 N ∑ i = 1 N p ( A i j ∣ z i , z j ) p(A|Z)=\sum_{i=1}^N\sum_{i=1}^Np(A_{ij}|z_i, z_j) p(A∣Z)=i=1∑N​i=1∑N​p(Aij​∣zi​,zj​) 故有， p ( A i j = 1 ∣ z i , z j ) = s i g m o i d ( z i T z j ) p(A_{ij}=1|z_i,z_j)=sigmoid(z_i^Tz_j) p(Aij​=1∣zi​,zj​)=sigmoid(ziT​zj​)。

损失函数 损失函数包含两部分：生成图和原始图之间的距离度量、节点表示向量分布和正态分布的散度。 L = E q ( Z ∣ X , A ) [ l o g p ( A ∣ Z ) ] − K L [ q ( Z ∣ X , A ) ∣ ∣ P ( Z ) ] L=E_q(Z|X,A)[logp(A|Z)]-KL[q(Z|X,A)||P(Z)] L=Eq​(Z∣X,A)[logp(A∣Z)]−KL[q(Z∣X,A)∣∣P(Z)] 其中， E q ( Z ∣ X , A ) [ l o g p ( A ∣ Z ) ] E_q(Z|X,A)[logp(A|Z)] Eq​(Z∣X,A)[logp(A∣Z)]是交叉熵损失函数。

理解到VAE的思想后，理解VGAE就会稍轻松一些，VAE用在CV领域比较多，通过生成模型生成具有相似特征的图像，但是将VAE应用到graph领域，有什么价值呢？在前面的推导中，VGAE得到图节点编码后，两两计算节点间存在边的概率大小，基于此重构图。可以看到，VGAE其实有做链路预测（link prediction） 的作用，举个简单的例子：在推荐系统中，通过重构图来捕获user与item之间可能的connection。

除了VGAE，还有GAE模型——图自编码器，GAE同样在VGAE这篇paper中提出了。 编码器仍然是两层GCN网络： Z = G C N ( X , A ) Z=GCN(X,A) Z=GCN(X,A) 解码器通过两两计算两点间存在边的概率来重构图： A ~ = s i g m o i d ( Z Z T ) \widetilde{A}=sigmoid(ZZ^T) A =sigmoid(ZZT) 损失函数衡量了生成图和原始图之间的差异值： L = E q ( Z ∣ X , A ) [ l o g p ( A ∣ Z ) ] L=E_{q(Z|X,A)}[logp(A|Z)] L=Eq(Z∣X,A)​[logp(A∣Z)] 可以发现，GAE与VGAE相比少了变分，即少了概率表征这一特点，所以损失函数中不需要再加入KL散度。