《一般项级数第十二章数项级数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一般项级数第十二章数项级数（80页珍藏版）》请在人人文库网上搜索。

1、一般项级数第十二章数项级数 1 级数的收敛性 2 3 一般项级数 一般项级数第十二章数项级数 1 级数的收敛性 1. 1. 计算圆的面积计算圆的面积 R 正六边形的面积正六边形的面积 正十二边形的面积正十二边形的面积 1 a 21 aa 正正 形的面积形的面积 n 23 n aaa 21 n aaaA 21 即即 一、问题的提出一、问题的提出 阿基里斯悖论阿基里斯悖论 23 1111 2 2222n 13333 1 310100100010n 3 123n 4 1111 111 5 1 23n 定义1 设数列un:u1, u2, , un, , 则称表 达式 12n uuu 为一个数项（无穷）

2、级数，简称为级数. 其中， un称为级数的一般项或通项.数项级数记作 1 n n u 若级数 1n n u的每一个项un均为常数，则称该 级数为常数项级数；若级数的每一项均为同一个 变量的函数un = un(x), 则称级数)( 1 xu n n 为函数项 级数. 例例1. 下列各式均为常数项级数 ； 2 1 4 1 2 1 2 1 1 n n n ; 21 1 nn n ; ) 1(1111) 1( 1 1 1 n n n . cos2cos1coscos 1 nn n 例例2. 下列各式均为函数项级数 ,) 1(1) 1( 112 1 11 nn n nn xxxx.Rx , 2 210

3、0 n n n n n xaxaxaaxa. 1|x ,sin2sinsinsin 1 nxxxnx n .Rx 无穷级数 1n n u 的前n项之和： , 21 1 n n k kn uuuuS 称为级数的部分和. 若SSn n lim存在，则称级数 1n n u 收敛， S称为级数的和： . 1 Su n n n n S lim 不存在(包括为)，则称级数 1n n u发散. 例例3. 讨论等比级数的敛散性. 1 1 n n aq 解解：等比级数的部分和为： 1 1 1 (1) . 11 nn n k n k aaqqaq Saq qq 当公比 | q |1时， (1) limlim. 1

4、 n n nn aq S q 当公比 q =1时， naS n n n limlim 当公比 q = 1时，Sn= a, n为奇数 0, n为偶数 , 故 不存在. n n S lim 综上所述，当公比| q |N,对于任意的正整数 都有 12mmmp uuu ：若级数 1n n u 收敛，则必有 . 0lim n n u ：若级数 1n n u 收敛，则必有 . 0lim n n u 设SSSu n n n n lim , 1 则 )(limlim 1 nn n n n SSu 1 limlim n n n n SS 0SS 例例6. 判别的敛散性. 1 1 1 ) 1( n n n n 解

5、解：由于, 1 1 ) 1( lim|lim 1 n n u n n n n 故 该级数发散. , 0lim n n u 例例8（调和级数）（调和级数）. 证明级数证明级数 1 1 n n 是发散的是发散的 例例7. 应用级数收敛的柯西准则证明证明级数应用级数收敛的柯西准则证明证明级数 2 1 1 n n 收敛收敛 若c0为常数，则 1n n u与 1n n cu有相同的敛散性， 且 . 11 n n n n uccu 三、无穷级数的性质三、无穷级数的性质 证证 1n n u的部分和为 ， n k kn uS 1 1n n cu 的部分和为 , 11 n n k k n k kn cSuccu

6、S 故 n n n n n n SccSS limlimlim 从而同时收敛或同时发散. 11n n n n uccu 若收敛，与 11n n n n vu其和分别为S1和S2，则级 数,)( 1 也收敛 n nn vu 且.)( 21 111 SSvuvu n n n n n nn 证证 1 )( n nn vu 的部分和为： )()()()( 2211 1 nn n k kkn vuvuvuvuS nnnn SSvvvuuu 212121 )()( 故 212121 limlim)(limlimSSSSSSS n n n n nn n n n 即 级数 1 )( n nn vu 收敛，且

7、.)( 21 111 SSvuvu n n n n n nn 例例9. 因为等比级数收敛，与 11 3 1 2 1 n n n n 所以级数 . 3 1 2 1 1 也收敛 n nn 例例10. 问题(1) 一个收敛级数与一个发散级数的和 是收敛的还是发散的？ 答：是发散的. 问题(2) 两个发散的级数之和是收敛的还是发 散的？ 答：不一定. 在一个级数的前面加上或者去掉有限项后， 所得到的新的级数与原级数的敛散性相同. (但对 收敛级数来说，它的和将改变.) 证证 设级数 1n n u 的部分和为Sn,去掉级数的前 面m项后得到的级数 1mk k u的部分和为Sk : kmmmk uuuS

8、21 )( )( 21 2121 m kmmmm uuu uuuuuu mkm SS 由于Sm当m固定时为一常数，所以 mkm k k k SSS limlim 故 级数 1n n u 与级数. 1 有相同的敛散性 mk k u 对收敛的级数加括号后所得到的新级数仍然 收敛，且其和不变. 例例11. 考虑以下几个问题： (1) 收敛的级数去掉括号后所成的级数仍收敛吗？ 答：不一定. (2) 发散的级数加括号后所成的级数是否仍发散？ 答：不一定发散. (3) 如果加括号后的级数仍发散，原级数是否也 发散？ 答：原级数也发散. 级级数数收收敛敛. 0lim n n u 证明证明 1n n us,

9、1 nnn ssu则则 1 limlimlim n n n n n n ssu ss . 0 即即趋趋于于零零它它的的一一般般项项无无限限增增大大时时当当, n un 四、级数收敛的必要条件：四、级数收敛的必要条件： 注意注意 1.1.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零, ,则级数发散则级数发散; ; 1 )1( 4 3 3 2 2 1 1 n n n 例如例如 发散发散 2.2.必要条件不充分必要条件不充分. . ?, 0lim但级数是否收敛但级数是否收敛有有 n n u n 1 3 1 2 1 1例例如如调调和和级级数数 思考题思考题 设设 1n n b与与 1n n c都都

10、收收敛敛，且且 nnn cab ), 2 , 1( n，能能否否推推出出 1n n a收收敛敛？ 一一、 填填空空题题: : 1 1、 若若 n n an 242 )12(31 , ,则则 5 1n n a= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 2 2、 若若 n n n n a ! , ,则则 5 1n n a= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 3 3、 若若级级数数为为 642422 xxxx 则则 n a_ _ _ _ _ _ _ _； 4 4、 若若级级数数为为 9753 5432 aaaa 则则 n

11、a_ _ _ _ _ _ _ _ _； 5 5、 若若级级数数为为 6 1 5 4 1 3 2 1 1 则则当当 n _ _ _ _ _ _ 时时 n a_ _ _ _ _ _；当当 n _ _ _ _ _ _ _时时 n a_ _ _ _ _ _ _ _ _； 6 6、 等等比比级级数数 0n n aq, ,当当_ _ _ _ _ _时时收收敛敛；当当_ _ _ _ _时时发发散散 . . 练习题练习题 三、由定义判别级数三、由定义判别级数 )12)(12( 1 75 1 53 1 31 1 nn 的收敛性的收敛性. . 四、判别下列级数的收敛性四、判别下列级数的收敛性: : 1 1、 n3

12、 1 9 1 6 1 3 1 ； 2 2、 ) 3 1 2 1 () 3 1 2 1 () 3 1 2 1 () 3 1 2 1 ( 3322nn ； 3 3、 n n 10 1 2 1 20 1 4 1 10 1 2 1 . . 五、利用柯西收敛原理判别级数五、利用柯西收敛原理判别级数 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1的敛散性的敛散性 . . 练习题答案练习题答案 一、一、1 1、 108642 97531 8642 7531 642 531 42 21 2 1 ； 2 2、 54321 5 ! 5 4 ! 4 3 ! 3 2 ! 2 1 ! 1 ； 3 3、 )2(642 2 n

13、 x n ； 4 4、 12 )1( 1 1 n a n n ； 5 5、 k kkk 2 1 ,2 , 12 . 12 ； 6 6、1, 1 qq. . 三、收敛三、收敛. . 四、四、1 1、发散；、发散； 2 2、收敛；、收敛； 3 3、发散、发散、 n k kn k s 1 2 ) 10 1 2 1 ( . . 五、发散五、发散. . 取取np2 一般项级数第十二章数项级数 2 正项级数 1.1.定义定义: :，中各项均有中各项均有如果级数如果级数0 1 n n n uu 这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数. . n sss 21 2.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要

14、条件: : 定理定理12.512.5 .有界有界部分和所成的数列部分和所成的数列正项级数收敛正项级数收敛 n s 部分和数列部分和数列 为单调增加数列为单调增加数列. . n s 均为正项级数，均为正项级数，和和设设 11n n n n vu定理定理12.6(比较原则比较原则) ,N若存在某正数对一切nN都有 ), 2, 1( nvu nn , ,若若 1 n n v 收敛收敛, ,则则 1 n n u 收敛；收敛； 反之，若反之，若 1 n n u 发散，则发散，则 1 n n v 发散发散. . 推论：比较原则的极限形式推论：比较原则的极限形式: : 设设 1 n n u与与 1 n n

15、v都是正项级数都是正项级数, , 如果如果 则则(1) (1) 当当时时, , 二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性; ; (2) (2) 当当时，若时，若收敛收敛, , 则则收敛收敛; ; (3) (3) 当当时时, , 若若 1 n n v发散发散, , 则则 1 n n u发散发散; ; ,liml v u n n n l0 0 l l 1n n v 1n n u 4例 ：判断下列级数的敛散性 1 1 2nn 1 2sin n 1 31 cos n 1 4ln 1 n 0 1,若对一切nN 成立不等式 1 , n n u q u n u 则级数收敛。 0 2,若对一切nN 成立不等式

16、 1 1, n n u u n u 则级数发散。 1 n u 推论 （比式判别法的极限形式）若为正项级数，且 1 lim n n n u q u 则 11 n qu 当时，级数收敛； 21 n qqu 当或时，级数发散。 两点注意两点注意: , 1 1 发发散散级级数数例例 n n , 1 1 2 收敛收敛级数级数 n n (1)q , 2 3 2 )1(2 nnn n n vu 例例 , 2 )1(2 11 收敛收敛级数级数 n n n n n u , )1(2(2 )1(2 1 1 nn n n n a u u 但但, 6 1 lim 2 n n a , 2 3 lim 12 n n a.

17、limlim 1 不不存存在在 n n n n n a u u 2.2.条件是充分的条件是充分的, ,而非必要而非必要. . 例例 4 4 判判别别下下列列级级数数的的收收敛敛性性: (1) 1 ! 1 n n ; (2) 110 ! n n n ; (3) 1 2)12( 1 n nn . 解解 )1( ! 1 )!1( 1 1 n n u u n n 1 1 n ),(0 n . ! 1 1 收敛收敛故级数故级数 n n ),( n)2( ! 10 10 )!1( 1 1 n n u u n n n n 10 1 n . 10 ! 1 发发散散故故级级数数 n n n )3( )22()1

18、2( 2)12( limlim 1 nn nn u u n n n n , 1 比值审敛法失效比值审敛法失效, 改用比较审敛法改用比较审敛法 , 1 2)12( 1 2 nnn , 1 1 2 收敛收敛级数级数 n n . )12(2 1 1 收收敛敛故故级级数数 n nn 5例 ：判断级数 2 5 8231 22 52 5 8 11 51 5 91 5 9141 n n 敛散性。 1 60 n nxx 例 ：讨论级数的敛散性。 2 n u 推论 若为正项级数，且 1 1lim1 n n n n u qu u 若时，则级数收敛； 1 2lim1 n n n n u qu u 若时，则级数发散。

19、 7例 研究级数 221 1 cnnnn bbcb cb cb cb c 0bc的敛散性，其中 0 1,若对一切nN 成立不等式 1, n n ul n u 则级数收敛。 0 2,若对一切nN 成立不等式 n u 则级数发散。 1, n n u 1 1 8 n n n 例讨论级数的敛散性。 11 n lu 当时，级数收敛； 21 n lu 当时，级数发散。 1 2( 1) 2 n n n 例9研究级数的敛散性。 2( 1) 2 n n 例 , )1(2(2 )1(2 1 1 nn n n n a u u 但但, 6 1 lim 2 n n a , 2 3 lim 12 n n a.limlim

20、 1 不不存存在在 n n n n n a u u 注：根式判别法比比式判别法更有效注：根式判别法比比式判别法更有效 2( 1)1 lim1 22 n n n n 由于 故级数收敛 2 n u 推论 若为正项级数，且 11 n lu 当时，则级数收敛； 21 n lu 当时，则级数发散。 10例研究级数 22nn bcbcbc 01.bc的敛散性，其中 lim n n n ul 三三 积分判别法积分判别法 12.91,fxf n 定理设为上非负减函数，那么正项级数与 1 f x dx 反常积分同时收敛或同时发散。 1 11 p p n 例 ：讨论 级数的敛散性。 12例 ：讨论下列级数的敛散性

21、 2 1 1 ln p nnn 3 1 2 lnlnln pp nnnn 四四 拉贝判别法拉贝判别法 0 1,若对一切nN 成立不等式 1 11, n n u nr u n u 则级数收敛。 0 2,若对一切nN 成立不等式 n u 则级数发散。 1 11, n n u n u n u 推论(拉贝判别法的极限形式)若为正项级数，且极限 11 n ru 当时，则级数收敛； 21 n ru 当时，则级数发散。 13例研究级数 1 321 2 42 s n n 当s=1,2,3时的敛散性。 1 lim1 n n n u nr u 存在，则 一般项级数第十二章数项级数 3 一般项级数 一般项级数第十二

22、章数项级数 交错级数是各项正负相间的一种级数，它的 一般形式为 n n uuuuu 1 4321 ) 1( 或 n n uuuuu) 1( 4321 其中，un0 (n=1, 2, ) 一般项级数第十二章数项级数 (莱布尼兹判别法) 若交错级数 1 1 ) 1( n n n u 满足条件 (2) (1) unun+1 (n=1, 2, ) 则交错级数收敛，且其和S的值小于u1. 0lim n n u(级数收敛的必要条件) 一般项级数第十二章数项级数 只需证明级数部分和Sn当n时的极限存在. 1) 取交错级前2m项之和 mmm uuuuuuS 21243212 )()()( 2124321mm

23、uuuuuu 由条件(2)： unun+1，un0, 得S2m以及 121222543212 )()()(uuuuuuuuuS mmmm 由极限存在准则：.lim 12 uSSS m m 存在，且 一般项级数第十二章数项级数 2) 取交错级数的前2m+1项之和 12212212432112 mmmmmm uSuuuuuuuS 由条件1):故, 0lim n n u SuSuSS m m m m mm m m m 12212212 limlim)(limlim 综上所述，有.lim 1 uSSSn n ，且 一般项级数第十二章数项级数 例例1. 讨论级数 1 ( 1)n n n 的敛散性. 解解

24、：这是一个交错级数， n un 1 又，0 1 limlim n u n n n ， 1 1 11 nn u nn u 由莱布尼兹判别法，该级数是收敛. 一般项级数第十二章数项级数 解解：这是一个交错级数， 又 ， nn u p n ln 1 ，0 ln 1 limlim nn u p n n n 令， xx xf p ln 1 )(x2, +)，则 ，0 ln lnln )( 22 1 xx xpx xf p pp x2, +)， 故 f (x) 2, +)，即有unun+1成立，由莱布尼兹判 别法，该级数收敛. 例例2. 判别级数 2 ln ) 1( n p n nn 的敛散性.(0)p

25、一般项级数第十二章数项级数 解解 2 )1(2 )1( ) 1 ( xx x x x )2(0 x , 1 单单调调递递减减故故函函数数 x x , 1 nn uu 1 limlim n n u n n n 又又. 0 原级数收敛原级数收敛. 一般项级数第十二章数项级数 (1) 级数的绝对敛和条件收敛 ：若级数收敛， | 1 n n u 1 n n u 则称原级数是绝 对收敛的；若级数 . 1 是条件收敛的则称原级数 n n u 但级数收敛， 1 n n u 发散， | 1 n n u 一般项级数第十二章数项级数 若 收敛， | 1 n n u . 1 收敛必则 n n u (即绝对收敛的级数

26、必定收敛) 上定理的作用：上定理的作用： 任意项级数任意项级数正项级数正项级数 定义定义: :若若 1n n u收敛收敛, , 则称则称 1n n u为绝对收敛为绝对收敛; ; 若若 1n n u发散发散, ,而而 1n n u收敛收敛, , 则称则称 1n n u为条件收敛为条件收敛. . 一般项级数第十二章数项级数 解解, 1sin 22 nn n , 1 1 2 收敛收敛而而 n n , sin 1 2 n n n 收敛收敛 故由定理知原级数绝对收敛故由定理知原级数绝对收敛. 一般项级数第十二章数项级数 例例5. 判别级数 1 25 sin n n n 的敛散性. 解：解： 22 1 5 sin | nn n un 由P一级数的敛散性，收敛， 1 2 1 n n 收敛，故 | 1 n n u 即原级数绝对收敛. 一般项级数第十二章数项级数 例例6. 级数 1 1 ) 1ln( 1 ) 1( n n n 是否绝对收敛? 1 1 ) 1ln( 1 ) 1ln( 1 ) 1( 1 nnn n 解：解： 由调和级数的发散性可知， 发散， 1 1 1 n n 故 1 1 ) 1ln( 1 ) 1( n n n 发散. 但原级数是一个收敛的交错级数：， ) 1ln( 1 n