本篇笔记介绍了行列式按行或按列展开定理、异乘变零定理、拉普拉斯定理和行列式相乘定理。

余子式：去掉行列式指定元素所在行和所在列元素后得到的新行列式（顾名思义，即剩余子集行列式）。 D = ∣ 1 1 0 ( 3 ) 1 1 1 1 2 ② 3 4 5 5 6 6 ∣ D=\begin{vmatrix} 1&1&0&(3)\\ 1&1&1&1\\ 2&②&3&4\\ 5&5&6&6\\ \end{vmatrix} D= ​1125​11②5​0136​(3)146​ ​

M 32 = ∣ 1 0 3 1 1 1 5 6 6 ∣ M_{32}=\begin{vmatrix} 1&0&3\\ 1&1&1\\ 5&6&6\\ \end{vmatrix}\qquad M32​= ​115​016​316​ ​

M 14 = ∣ 1 1 1 2 2 3 5 5 6 ∣ M_{14}=\begin{vmatrix} 1&1&1\\ 2&2&3\\ 5&5&6\\ \end{vmatrix} M14​= ​125​125​136​ ​

余子式使用符号 M i j M_{ij} Mij​表示。

代数余子式:在余子式前面添加 ( − 1 ) i + j (-1)^{i+j} (−1)i+j符号。 A 32 = ( − 1 ) 3 + 2 ∣ 1 0 3 1 1 1 5 6 6 ∣ A_{32}=(-1)^{3+2}\begin{vmatrix} 1&0&3\\ 1&1&1\\ 5&6&6\\ \end{vmatrix}\qquad A32​=(−1)3+2 ​115​016​316​ ​

A 14 = ( − 1 ) 1 + 4 M 14 A_{14}=(-1)^{1+4}M_{14} A14​=(−1)1+4M14​

代数余子式使用符号 A i j A_{ij} Aij​表示。

行列式按某行（列）展开定理：给定一个行列式，它的值等于任意一行（列）中各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即：

按行展开： D = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + . . . + a i n A i n D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in} D=ai1​Ai1​+ai2​Ai2​+...+ain​Ain​ 按列展开： D = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j + . . . + a n j A n j D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj} D=a1j​A1j​+a2j​A2j​+...+anj​Anj​

举例： ∣ 1 1 2 0 1 0 2 3 5 ∣ = 1 × ( − 1 ) 1 + 1 ∣ 1 0 3 5 ∣ + 1 × ( − 1 ) 1 + 2 ∣ 0 0 2 5 ∣ + 2 × ( − 1 ) 1 + 3 ∣ 0 1 2 3 ∣ \begin{vmatrix} 1&1&2\\ 0&1&0\\ 2&3&5\\ \end{vmatrix}=1×(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 1&0\\ 3&5\\ \end{vmatrix}+1×(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 0&0\\ 2&5\\ \end{vmatrix}+2×(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 0&1\\ 2&3\\ \end{vmatrix} ​102​113​205​ ​=1×(−1)1+1 ​13​05​ ​+1×(−1)1+2 ​02​05​ ​+2×(−1)1+3 ​02​13​ ​

① 行列式按某行（列）展开具有降阶的效果； ② 选0比较多的行（列）进行展开。

∣ 1 1 2 0 1 0 2 3 5 ∣ = 0 × A 21 + 1 × ( − 1 ) 2 + 2 ∣ 1 2 2 5 ∣ + 0 × A 23 \begin{vmatrix} 1&1&2\\ 0&1&0\\ 2&3&5\\ \end{vmatrix}=0×A_{21}+1×(-1)^{2+2}\begin{vmatrix} 1&2\\ 2&5\\ \end{vmatrix}+0×A_{23} ​102​113​205​ ​=0×A21​+1×(−1)2+2 ​12​25​ ​+0×A23​

某行（列）元素与另一行（列）元素代数余子式的乘积之和等于零。

举例： D = ∣ 1 1 2 3 0 0 8 9 2 2 5 4 ⑨ ⑨ ⑨ ⑩ ∣ D=\begin{vmatrix} 1&1&2&3\\ 0&0&8&9\\ 2&2&5&4\\ ⑨&⑨&⑨&⑩\\ \end{vmatrix} D= ​102⑨​102⑨​285⑨​394⑩​ ​

用第4行元素与第1行元素的代数余子式相乘： 9 × A 11 + 9 × A 12 + 9 × A 13 + 10 × A 14 ① 9×A_{11}+9×A_{12}+9×A_{13}+10×A_{14}\qquad① 9×A11​+9×A12​+9×A13​+10×A14​①

构造如下行列式（第2、3、4行与行列式 D D D相同）： D 1 = ∣ ⑨ ⑨ ⑨ ⑩ 0 0 8 9 2 2 5 4 ⑨ ⑨ ⑨ ⑩ ∣ D_1=\begin{vmatrix} ⑨&⑨&⑨&⑩\\ 0&0&8&9\\ 2&2&5&4\\ ⑨&⑨&⑨&⑩\\ \end{vmatrix} D1​= ​⑨02⑨​⑨02⑨​⑨85⑨​⑩94⑩​ ​

将 D 1 D_1 D1​按第1行展开： 9 × A 11 + 9 × A 12 + 9 × A 13 + 10 × A 14 ② 9×A_{11}+9×A_{12}+9×A_{13}+10×A_{14}\qquad② 9×A11​+9×A12​+9×A13​+10×A14​②

不难发现，表达式①和表达式②完全相同，而行列式 D 1 D_1 D1​第1行和第4行对应相等，根据行列式性质3可知其值为0，故异乘变零也。

k k k阶子式：取定 k k k行 k k k列，位于交叉位置元素所以构成的行列式。

举例： D = ∣ ① ② 3 4 ① ① 2 5 1 1 0 8 9 9 9 10 ∣ D=\begin{vmatrix} ①&②&3&4\\ ①&①&2&5\\ 1&1&0&8\\ 9&9&9&10\\ \end{vmatrix} D= ​①①19​②①19​3209​45810​ ​

取定第1行第2行，第1列第2列，得到如下2阶子式：

∣ ① ② ① ① ∣ \begin{vmatrix} ①&②\\ ①&①\\ \end{vmatrix} ​①①​②①​ ​

余子式：除去 k k k阶子式所在行和所在列后得到的行列式。

上述行列式 D D D的余子式为： ∣ 0 8 9 10 ∣ \begin{vmatrix} 0&8\\ 9&10\\ \end{vmatrix} ​09​810​ ​

代数余子式：在余子式前面添加 ( − 1 ) ( i 1 + i 2 + . . . + i k ) + ( j 1 + j 2 + . . . + j k ) (-1)^{(i_1+i_2+...+i_k)+(j_1+j_2+...+j_k)} (−1)(i1​+i2​+...+ik​)+(j1​+j2​+...+jk​)符号。

上述行列式 D D D的代数余子式为： ( − 1 ) ( 1 + 2 ) + ( 1 + 2 ) ∣ 0 8 9 10 ∣ (-1)^{(1+2)+(1+2)}\begin{vmatrix} 0&8\\ 9&10\\ \end{vmatrix} (−1)(1+2)+(1+2) ​09​810​ ​

拉普拉斯展开定理：在 n n n阶行列式中，任意取定 k k k行，由 k k k行元素组成的所有 k k k阶子式与代数余子式乘积之和等于行列式的值。

举例： D = ∣ 1 2 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 3 4 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 6 6 8 3 1 ∣ D=\begin{vmatrix} 1&2&(0)&(0)&(0)\\ 3&4&(0)&(0)&(0)\\ 1&2&3&4&5\\ 1&1&1&1&1\\ 6&6&8&3&1\\ \end{vmatrix} D= ​13116​24216​(0)(0)318​(0)(0)413​(0)(0)511​ ​

假定取定前2行，不难发现，第3、第4和第5列都是0，与前2行任意一个组合得到的2阶子式均为0，即： ∣ 1 0 3 0 ∣ \begin{vmatrix}1&0\\3&0\\\end{vmatrix} ​13​00​ ​或 ∣ 2 0 4 0 ∣ \begin{vmatrix}2&0\\4&0\\\end{vmatrix} ​24​00​ ​，所以只有前2列组成的2阶子式 ∣ 1 2 3 4 ∣ \begin{vmatrix}1&2\\3&4\\\end{vmatrix} ​13​24​ ​不为0。

故： D = ∣ 1 2 3 4 ∣ × ( − 1 ) ( 1 + 2 ) + ( 1 + 2 ) ∣ 3 4 5 1 1 1 8 3 1 ∣ D=\begin{vmatrix} 1&2\\ 3&4\\ \end{vmatrix}×(-1)^{(1+2)+(1+2)}\begin{vmatrix} 3&4&5\\ 1&1&1\\ 8&3&1\\ \end{vmatrix} D= ​13​24​ ​×(−1)(1+2)+(1+2) ​318​413​511​ ​

假设 D 1 D1 D1和 D 2 D2 D2是两个 n n n阶（同阶）行列式，则它们的乘积可以表示成一个 n n n阶行列式。

运算规则： ① 先用 D 1 D1 D1的第1行元素分别乘以 D 2 D2 D2的第1列元素然后相加，结果作为新行列式的第1行的第1个元素； ② 然后用 D 1 D1 D1的第1行元素分别乘以 D 2 D2 D2的第2列元素然后相加，结果作为新行列式的第1行的第2个元素； ③ 再用 D 1 D1 D1的第1行元素分别乘以 D 2 D2 D2的第n列元素然后相加，结果作为新行列式的第1行的第n个元素； ④ 换 D 1 D1 D1的第2行元素分别乘以 D 2 D2 D2的第1列元素然后相加，结果作为新行列式的第2行的第1个元素； ⑤ 然后用 D 1 D1 D1的第2行元素分别乘以 D 2 D2 D2的第2列元素然后相加，结果作为新行列式的第2行的第2个元素； ⑥ 再用 D 1 D1 D1的第2行元素分别乘以 D 2 D2 D2的第n列元素然后相加，结果作为新行列式的第2行的第n个元素； ⑦ 依次最后用 D 1 D1 D1的第n行元素分别乘以 D 2 D2 D2的第n列元素然后相加，结果作为新行列式的第n行的第n个元素。

举例1： ∣ 1 1 1 2 0 0 0 0 3 ∣ × ∣ 1 2 3 1 3 2 3 2 1 ∣ \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 2&0&0\\ 0&0&3\\ \end{vmatrix}×\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 1&3&2\\ 3&2&1\\ \end{vmatrix} ​120​100​103​ ​× ​113​232​321​ ​

= ∣ 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 3 1 × 2 + 1 × 3 + 1 × 2 1 × 3 + 1 × 2 + 1 × 1 2 × 1 + 0 × 1 + 0 × 3 2 × 2 + 0 × 3 + 0 × 2 2 × 3 + 0 × 2 + 0 × 1 0 × 1 + 0 × 1 + 3 × 3 0 × 2 + 0 × 3 + 3 × 2 0 × 3 + 0 × 2 + 3 × 1 ∣ =\begin{vmatrix} 1×1+1×1+1×3&1×2+1×3+1×2&1×3+1×2+1×1\\ 2×1+0×1+0×3&2×2+0×3+0×2&2×3+0×2+0×1\\ 0×1+0×1+3×3&0×2+0×3+3×2&0×3+0×2+3×1\\ \end{vmatrix} = ​1×1+1×1+1×32×1+0×1+0×30×1+0×1+3×3​1×2+1×3+1×22×2+0×3+0×20×2+0×3+3×2​1×3+1×2+1×12×3+0×2+0×10×3+0×2+3×1​ ​

= ∣ 5 7 6 2 4 6 9 6 3 ∣ =\begin{vmatrix} 5&7&6\\ 2&4&6\\ 9&6&3\\ \end{vmatrix} = ​529​746​663​ ​

举例2： ∣ 1 2 1 2 1 1 1 1 2 ∣ × ∣ 1 0 2 0 1 0 2 0 1 ∣ \begin{vmatrix} 1&2&1\\ 2&1&1\\ 1&1&2\\ \end{vmatrix}×\begin{vmatrix} 1&0&2\\ 0&1&0\\ 2&0&1\\ \end{vmatrix} ​121​211​112​ ​× ​102​010​201​ ​

= ∣ 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 2 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 2 × 0 + 1 × 1 2 × 1 + 1 × 0 + 1 × 2 2 × 0 + 1 × 1 + 1 × 0 2 × 2 + 1 × 0 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 0 + 2 × 2 1 × 0 + 1 × 1 + 2 × 0 1 × 2 + 1 × 0 + 2 × 1 ∣ =\begin{vmatrix} 1×1+2×0+1×2&1×0+2×1+1×0&1×2+2×0+1×1\\ 2×1+1×0+1×2&2×0+1×1+1×0&2×2+1×0+1×1\\ 1×1+1×0+2×2&1×0+1×1+2×0&1×2+1×0+2×1\\ \end{vmatrix} = ​1×1+2×0+1×22×1+1×0+1×21×1+1×0+2×2​1×0+2×1+1×02×0+1×1+1×01×0+1×1+2×0​1×2+2×0+1×12×2+1×0+1×11×2+1×0+2×1​ ​

= ∣ 3 2 3 4 1 5 5 1 4 ∣ =\begin{vmatrix} 3&2&3\\ 4&1&5\\ 5&1&4\\ \end{vmatrix} = ​345​211​354​ ​

两个不同阶的行列式不能使用行列式相乘定理，如下所示： ∣ 1 2 1 2 1 1 1 1 2 ∣ × ∣ 1 1 1 1 2 2 2 1 0 3 1 1 4 1 1 1 ∣ \begin{vmatrix} 1&2&1\\ 2&1&1\\ 1&1&2\\ \end{vmatrix}×\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 2&2&2&1\\ 0&3&1&1\\ 4&1&1&1\\ \end{vmatrix} ​121​211​112​ ​× ​1204​1231​1211​1111​ ​

行列式的本质就是一个数，所以不同阶的行列式相乘时，可以先分别求出值，再相乘。

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_1.3 行列式按行展开