本文将介绍卡方分布的定义及相关性质，以及卡方分布与正态分布的关系。

首先， χ 2 \chi^2 χ2分布是一种特殊的 g a m m a gamma gamma 分布。所以在看卡方分布的定义及性质之前，我们先来看 Gamma 分布的定义。

g a m m a gamma gamma 分布由两个参数 α \alpha α 和 β \beta β 决定。 g a m m a ( α ,   β ) gamma(\alpha, \, \beta) gamma(α,β) 的概率密度函数 (pdf) 为： f ( x ∣ α , β ) = 1 Γ ( α ) β α x α − 1 e − x / β ,   0 < x < ∞ , α > 0 , β > 0 (1) \displaystyle f(x|\alpha, \beta) = \dfrac{1}{\Gamma(\alpha) \beta^\alpha} x^{\alpha - 1} e^{-x/\beta},\, 0 < x < \infty, \alpha > 0, \beta > 0 \tag{1} f(x∣α,β)=Γ(α)βα1​xα−1e−x/β,00(1) 其中 Γ ( x ) \Gamma(x) Γ(x) 是 gamma 函数， Γ ( α ) = ∫ 0 ∞ t α − 1 e − t d t \displaystyle \Gamma(\alpha) = \int_{0}^{\infty} t^{\alpha - 1} e^{-t} dt Γ(α)=∫0∞​tα−1e−tdt。

在 g a m m a ( α ,   β ) gamma(\alpha, \, \beta) gamma(α,β) 分布中，如果我们令 α = p / 2 ,   β = 2 \alpha = p / 2, \, \beta = 2 α=p/2,β=2，那么我们就得到了自由度为 p p p 的 χ 2 \chi^2 χ2 分布，记为 χ p 2 \chi^2_p χp2​ 分布。

在看卡方分布的性质之前，我们先看一下 g a m m a gamma gamma 分布的性质。

假设 X ∼ g a m m a ( α ,   β ) X \sim gamma(\alpha, \, \beta) X∼gamma(α,β)，那么我们有 E ( X ) = α β , Var ( X ) = α β 2 \mathbb{E}(X) = \alpha \beta, \text{Var}(X) = \alpha \beta^2 E(X)=αβ,Var(X)=αβ2 证明过程可参见 [1]。我们在附录中给出 Var ( X ) = α β 2 \text{Var}(X) = \alpha \beta^2 Var(X)=αβ2 的证明。

g a m m a gamma gamma 分布的距生成函数 (moment-generating function, mgf) 为 M X ( t ) = E ( e t x ) = ( 1 1 − β t ) α , t < 1 β \displaystyle M_X(t) = \mathbb{E}(e^{tx}) = \Big ( \dfrac{1}{1 - \beta t} \Big) ^{\alpha}, t < \dfrac{1}{\beta} MX​(t)=E(etx)=(1−βt1​)α,t0。求出累积分布函数 F ( k ) F(k) F(k) 之后，我们可以对 F ( k ) F(k) F(k) 求导，来求出 Y Y Y 的概率密度函数。

F ( k ) = P ( Y ≤ k ) = P ( − k ≤ X ≤ k ) = ∫ − k k 1 2 π e − x 2 / 2 d x = ∫ − ∞ k 1 2 π e − x 2 / 2 d x − ∫ − ∞ − k 1 2 π e − x 2 / 2 d x \begin{aligned} F(k) = P(Y \leq k) &= P(-\sqrt{k} \leq X \leq \sqrt{k}) \\ &= \int_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-x^2 / 2} dx \\ &= \int_{-\infty}^{\sqrt{k}} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-x^2 / 2} dx - \int_{-\infty}^{-\sqrt{k}} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-x^2 / 2} dx \end{aligned} F(k)=P(Y≤k)​=P(−k ​≤X≤k ​)=∫−k ​k ​​2π ​1​e−x2/2dx=∫−∞k ​​2π ​1​e−x2/2dx−∫−∞−k ​​2π ​1​e−x2/2dx​ 对 F ( k ) F(k) F(k) 求导，我们有 d d k F ( k ) = 1 2 π e − ( k ) 2 / 2 d d k ( k ) − 1 2 π e − ( − k ) 2 / 2 d d k ( − k ) = 1 2 π e − k 2 1 k \begin{aligned} \frac{d}{dk} F(k) &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-(\sqrt{k})^2 / 2} \frac{d}{dk} (\sqrt{k}) - \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-(-\sqrt{k})^2 / 2} \frac{d}{dk} (-\sqrt{k}) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{k}{2}} \frac{1}{\sqrt{k}} \end{aligned} dkd​F(k)​=2π ​1​e−(k ​)2/2dkd​(k ​)−2π ​1​e−(−k ​)2/2dkd​(−k ​)=2π ​1​e−2k​k ​1​​

这正是 f ( x ∣ p ) = 1 Γ ( p / 2 ) 2 p / 2 x p 2 − 1 e − x / 2 ,      0 < x < ∞ f(x \vert p) = \frac{1}{\Gamma(p / 2) 2^{p / 2}} x^{\frac{p}{2} - 1} e^{-x / 2}, \, \, \, \, 0 < x < \infty f(x∣p)=Γ(p/2)2p/21​x2p​−1e−x/2,0