上一节中我们引进了极限的概念。我们看到，极限的概念包括数列的极限和函数的极限。这一节中，我们将给出极限的严格定义。

我们在上一节中已经见到，数列的极限是一个确定的值，表示的是数列发展的最终趋势。用不严格的说法，一个数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} 存在某个极限 L {\displaystyle L} ，表示只要 n {\displaystyle n} 足够大， a n {\displaystyle a_{n}} 就会任意接近 L {\displaystyle L} 。为了让极限成为严格的数学概念，我们需要对上一句话中的每一个部分进行数学上的明确描述和定义，否则在应用和操作上就会产生混淆。现代的微积分学中主要使用的是由19世纪法国数学家奧古斯丁·路易·柯西所引进的 N − ε {\displaystyle N-\varepsilon } 定义：

这个定义对之前的“足够大”、“任意接近”等概念进行了精确的说明，是可以让我们进行具体操作的。比如让我们回头看一看上一节中的例子：

我们曾经通过观察认为这个数列的极限是0。现在我们可以运用以上的定义来证明之：

首先注意到一个事实：对所有的自然数 m {\displaystyle m} ，都有 2 m > m {\displaystyle 2^{m}>m} ，也就是说 2 m ⩾ m + 1 {\displaystyle 2^{m}\geqslant m+1} 。

对任意的正实数 ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} ，它的倒数 1 ε {\displaystyle {\frac {1}{\varepsilon }}} 也是一个正实数。记 N 0 = ⌊ 1 ε ⌋ {\displaystyle N_{0}=\lfloor {\frac {1}{\varepsilon }}\rfloor } 为它的整数部分。则对于任意的自然数 n {\displaystyle n} ，只要 n ⩾ N 0 {\displaystyle n\geqslant N_{0}} ，那么

而

所以

要注意的是，我们只证明了“ 0 {\displaystyle 0} 是数列 { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }} 的极限”，而非“数列 { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }} 的极限是 0 {\displaystyle 0} ”。不过在后面我们会知道，极限如果存在，就是唯一的，所以上面两个命题其实是等价的命题。

函数的极限比数列的极限更加多样。实际上，数列可以看做是定义在自然数集合 N {\displaystyle \mathbb {N} } 上面的函数。不过常见的初等函数一般是定义在实数上的，而我们知道，实数比自然数“多得多”，所以函数的极限描述的是多种无限过程的最终趋势。

一类最简单的极限是函数在其定义域内有限一点的极限。这类极限描述的是函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的自变量 x {\displaystyle x} （在其定义域内）逐渐靠近某个值 c {\displaystyle c} 时，函数值 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的变化趋势。上一节中，我们这样描述函数在一点的极限：如果当 x {\displaystyle x} 足够接近 c {\displaystyle c} 时，函数值 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 就会任意接近某个数值 L {\displaystyle L} ，那么就说 L {\displaystyle L} 是 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在 x {\displaystyle x} 趋于 c {\displaystyle c} 时的极限。与数列的极限一样，这种定义需要用数学的语言进一步明确其中各个部分的含义。我们仍然使用柯西的方法，称为 δ − ε {\displaystyle \delta -\varepsilon } 定义：

通过这个定义，我们可以证明上一节中 f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} 在 x {\displaystyle x} 趋于 2 {\displaystyle 2} 时的极限是 4 {\displaystyle 4} 。

函数 f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} 在整个实数轴 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上有定义，所以一定在 2 {\displaystyle 2} 的某个去心邻域上有定义。对任意的正实数 ε {\displaystyle \varepsilon } ，取正实数 δ {\displaystyle \delta } 为 ε 5 {\displaystyle {\frac {\varepsilon }{5}}} 和 1 {\displaystyle 1} 当中的较小者： δ = min { ε 5 , 1 } {\displaystyle \delta =\min\{{\frac {\varepsilon }{5}},1\}} 。则对任意的实数 x {\displaystyle x} ，只要 | x − 2 | ⩽ δ {\displaystyle \vert x-2\vert \leqslant \delta } ，就有

然而按 δ {\displaystyle \delta } 的定义， | x − 2 | ⩽ ε 5 {\displaystyle \vert x-2\vert \leqslant {\frac {\varepsilon }{5}}} ；另一方面，由于 | x − 2 | ⩽ 1 {\displaystyle \vert x-2\vert \leqslant 1} ，所以 x {\displaystyle x} 介于1和3之间， | x + 2 | ⩽ 5 {\displaystyle \vert x+2\vert \leqslant 5} 。所以

上面我们严格地定义了一个函数在某一点的极限。在定义里，我们并没有要求函数要在这一点上有定义。事实上，有时候函数不一定在所有足够接近一点的点上都有定义。比如，令函数 f ( x ) = x − 2 {\displaystyle f(x)={\sqrt {x-2}}} ，可以证明，在 x {\displaystyle x} 大于 2 {\displaystyle 2} 并趋于 2 {\displaystyle 2} 时的 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 趋于 0 {\displaystyle 0} ，但它在 x R {\displaystyle f:\mathbb {D} \subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } 是一个定义在实数上的函数。 L {\displaystyle L} 是一个给定的实数。 c {\displaystyle c} 是一个实数，并且函数 f {\displaystyle f} 在 c {\displaystyle c} 的某个去心邻域 O {\displaystyle {\mathit {O}}} 的左（右）侧： O − = O ∩ { x {\displaystyle \varepsilon } ，都存在一个正实数 δ {\displaystyle \delta } ，使得对任意的实数 x c {\displaystyle x>c} ），只要 | x − c | ⩽ δ {\displaystyle \vert x-c\vert \leqslant \delta } ，就有 | f ( x ) − L | ⩽ ε . {\displaystyle \vert f(x)-L\vert \leqslant \varepsilon .} 那么就称 L {\displaystyle L} 是函数 f {\displaystyle f} 在 x {\displaystyle x} 趋于 c {\displaystyle c} 时的左（右）极限，記為 lim x → c − f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to c^{-}}f(x)=L} （ lim x → c + f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to c^{+}}f(x)=L} ）。反之则称 L {\displaystyle L} 不是 f {\displaystyle f} 在 x {\displaystyle x} 趋于 c {\displaystyle c} 时的左（右）极限。

在这个定义下，我们可以说 f ( x ) = x − 2 {\displaystyle f(x)={\sqrt {x-2}}} 在 x {\displaystyle x} 趋于 2 {\displaystyle 2} 时的右极限是 0 {\displaystyle 0} 。函数在趋于 c {\displaystyle c} 时的极限存在，等价于说左、右极限都存在并相等。不过有时即使函数在趋于某点时的左右极限存在，也可以不相等。这时候函数在这一点没有极限。

函数在某一点的极限可以描述自变量趋于这一点的时候函数值的变化趋势，对于定义域包括实数轴的某一侧（或两侧）的函数，可以探讨它在自变量充分大（或充分小）时候的变化趋势。我们可以像前面一样定义函数在无穷远处的极限：

以上的定义中，数列或函数的变化趋势都可以用某个确定的数值来刻画。但有时候，函数或数列的变化趋势并不是接近某一个确定的数，而是变得越来越大（或越来越小）。这时候我们称函数或数列趋向正无穷大或负无穷大，相应的定义为：