GeoGebra函数作图基础 |
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GeoGebra函数作图基础
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在GeoGebra中，函数作图是很方便的，基本上是会输入函数关系式，就会出图像。但对于诸如分段函数、反函数、周期函数、图像的动态化等等，还需要一定的技巧。本文汇总了这方面的知识，不一定全面，但对初次学习GeoGebra的人来说还是有一定的帮助的。文章以网上一篇流传甚广的函数作图基础教程为本，将指令改为中文，并对所有例题补充了相应的图像，所有指令都可直接复制到GeoGebra的指令栏中，希望能对刚刚入门或希望学习GeoGebra的初学者有所帮助。 例1、作函数 f(x)=x^2,0 2, x²) 注： \wedge、\vee、\neg 为逻辑变量，分别表示“且、或、非”。在GeoGebra中，"且"用符号&&或者 \wedge 连接，"或"用V或者||（两个短竖线，键盘上右中括号右边的键）。 例3、作函数 y=tan(x),y>1 的图像。 y = 如果(tan(x) > 1, tan(x)) 例4、动态绘制 f(x)=x^2 缓慢绘制(x^2) 定义自动变成了： 如果(x < x(角点(2) - 角点(1)) a + x(角点(1)), x²)并自动生成一个0-1的滑动条 a ，表示动态绘制横坐标从角点1 绘制到角点2的函数图像。 例5、动态绘制 f(x)=x^2,(-2 例6、作分段函数 f(x)=\left\{\begin{matrix} x^2,x>0 \\ 1-x,x 说明：if指令的语法为： 如果( , , , , …… )于是可以作任意段的分段函数。 例7、作分段函数 f(x)=\left\{\begin{matrix} x^2,x>0 \\ 0,x=0\\ 1-x,x 例8、定义 max\left \{ a,b \right \} 为 a、b 两数中较大的数，作出函数 max\left \{ 2x+1,x^2\right \} 的图像。 如果(2x+1>x^2,2x+1,x^2) 说明：在GeoGebra中函数是可以比大小的，比如 f(x)g&&f>h,f,g>h,g,h) 说明：如果f>g且f>h，则f为最大的，否则g、h中有一一个是最大的；接下去，如果g> h，则g是最大的，否则h是最大的。当函数个数较多时，用此法指令必然很长，因此也可以用轨迹法来作。 a=滑动条(-10,10) %建立一个10到10的滑动条a,范围可以自己设定。 b=max({f(a),g(a),h(a)}) %求出a对应的最大函数值。 A=(a,b) 轨迹(A,a) %创建A点关于滑动条a的轨迹。 max 的语法是：max(列表)，比如max({1,2,3})，返回3. 例10、数列是特殊的函数，作出数列 a_n=2^n-1 的图像。(数列的图像是散点图，只能用序列指令作图） n=滑动条(1,10,1) %新建一个1-10的滑动条，增量为1。 序列((i,2^i-1)),i,1,n) %序列sequence的语法为：序列(表达式,变量,起始值,终止值,增量) 例11、作黎曼函数定义在 [0,1] 上的函数 R(x)=\begin{cases}\frac{1}{q} ,x=\frac{p}{q} ,p、q为正整数，p 说明：这里用到了序列的嵌套，相关内容请查阅其它资料。 例12、作出指数函数图像 f(x)=a^x随着底数 a 的变化而变化的动画. a=滑动条(0,5,0.1) %新建一个0- 5的滑动条，增量为0.1.。 f(x)=a^x 说明：拖动滑动条 a ，或者启动动画，右键f(x) 的图像，选择”跟踪“，可以得该函数变化后留下的踪迹,便于观察趋势。在GeoGebra中踪迹是无法保留的,，如果滚动滚轮或者移动页面等，则踪迹会自动消失。 例13、制作当底数 a 分别等于2、3、4、5、6、7、8、9、10 时指数函数 f(x)=a^x 的图像。 批量画函数图像，我们可以使用序列指令。 序列(a^x,a,2,10,1) 例14、给定任意3点、作出二次函数的图像。 先用描点工具任意描3个不共线的点A,B,C； 多项式拟合({A,B,C}) 说明：多项式拟合指令，可以指定拟合的次数，如不指定，次数一般为点个数减1，即 n 个点得到一个 n-1 次多项式，但有时会出现最高次的系数为0的情况。 在GeoGebra中还有正弦拟合、指数拟合、样条曲线、fit等拟合类指令，具体使用方法，请使用指令帮助。 例15、求函数 f(x)=a^x 的反函数。 f(x)=a^x 反函数(f) 逆反(f) 说明：对于函数来说，反函数和逆反两个指令一致，而逆反指令还有矩阵上的应用，相关内容请相看指令帮助。 例16、在绘图区动态显示函数 y=ax^2 + bx +c 随着 a、b、c 变化而变化的解析式。  方法1： f(x)=a^x+b*x+c自动生成 a、b、c 3个滑动条，在代数区找到 f(x) ，按住鼠标左键，拖到绘图区。缺点：当系数为0或者1时显示不佳，例如显示为 f(x)= 0x^2 + 1x+ 1 方法2： f(x)=a^x+b*x+c自动生成 a、b、c 3个滑动条，打开运算区（CAS)输入： y=近视数(f(x))，并将得到的式子按住鼠标左键拖到绘图区。优点：由于是文本，可以任意移动位置，系数完美显示，故对细节特别关注的读者，建议采用方法2。另外如果希望系数显示的是准确值，则直接输入y=f(x)， 即不用对系数作近似处理。 运算区的运算一般取精确值，所以解方程、求交点、零点等任务可以在运算区完成，然后在代数区引用运算的结果，或者把结果转化为文本。 例17、二元函数的作图：做出函数 f(x) = x^2 + y^2 的图像. f(x,y)=x^2+y^2二元函数的图像显示在3d绘图区。  例18、作出隐函数 x^2+y^2 +z^2= 1 的图像. x^2+y^2+z^2=1 在GeoGebra中不能作复杂的3元隐函数图像,，例如流行的3d心用隐函数是画不出来的。 例19、画出函数 y= xln(x) 的1阶、2阶、3阶导函数以及n阶导函数。 f(x)=x*ln(x) f' %1阶导数. f'' %2阶导数. f''' P'%3阶导数 n=滑动条(1, 10,1) %新建一个1-10的整数型滑动条 导数(f, n) %n阶导函数 例20、已知 f(x)=2x+ 1,f_1(x)= f(x),f_n(x)= f(f_n-1 (x)) ，即 f(x) 的自身复合函数，求作函数 f_n(x) 的图像。 f(x)=2x+1 n=滑动条(1,10,1) g=迭代(f(p(x)), p, {f},n-1) 化简(g) 说明：如果将“迭代”改为“迭代列表”,则会输出 f(x) 到 f_n(x) 所有的函数图像。 例21、周期型函数1：己知 f(x+2)= f(x),f(x)=x^2,-1≤x< 1，画出 f(x) 的图像。 (本例详细原理，请自行学习潘立强老师《周期函数的绘制》一 文) g(x)=如果(-1例22、周期型函数2：已知 f(x+2)=2f(x),f(x)=x^2,-1≤x< 1 ，画出 f(x) 的图像。 只需将上例中第4行指令修改为： f(x)=(2)-h(x)*g(s(x))类似的有 f(x+2)=1/f(x)、f(x+2)= -f(x) 等，都可以仿照这2个例子去作，此外也可以用序列、迭代、轨迹等方式去画，但都不如这种方法。（图像与例21相同，不再重复） 例23、制作函数 y=x^2,x> 0 ，绕着 y 轴翻折的动画。 f(x)=x-2, x>0 %也可以输入if[>0,x-2]。 a=滑动条(-1,1) g(x)=f(x/(-a)) %纵坐标不变,，横坐标做停缩变换。 赋值(a,-1) 启动动画(a) 例24、制作函数 y=(x - 2)^2 对称轴右侧部分绕着对称轴翻折到左侧的动画。 f(x)=(x-2)^2,x>2 a=滑动条(-1,1) g(x)=f((x-2)/(-a)+2) %纵坐标不变,横坐标做伸缩变换。 赋值(a,-1) 启动动画(a) 此法不易理解，我们也可以用轨迹法来做这一动画： f(x)=(x-2)^2,x>2 a=滑动条(-1,1) A=描点(f) B=(2,y(A)) % B为位似中心 A'=位似(A,-a,B) %以B为位似中心,以位似比 a对A做位似。 轨迹(A' ,A)动画效果与上一方法相同。 说明：也可以用伸缩指令来做翻折更简单，指令为: 伸缩(f,y轴,a) %a为-1到1的滑动条，f为函数例25、“蛛网法”是近来流行的一种方法： 已知函数 f(x)= x+ sin(x,0 这种迭代方法十分精妙，摒弃了对于点在 f(x) 还是在 y=x 图像上的判断,，而是直接才用 (P),f(x(P)) 这一表达式蛛网迭代是这样的 (a_1,a_2)→(a_2,a_2)→(a_2,a_3)→(a_3,a_3)... 由于 f(a_1) = a_2 , 易知 (a_2,f(a_1)) 可将第一个点变为第二个点 (a_2,a_2) ，又 f(a_2)= a_3 ，可知 (a_2,f(a_2)) 将第二个点变为第三个点 (a_2,a_3) ，依此类推，往复迭代，即成蛛网。 |
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