信号与系统课件14

1. 非周期信号傅里叶变换：内容回顾

傅里叶变换的导出：从周期无限的傅里叶级数展开推导出来

傅里叶变换的物理意义：F(jω)频谱密度函数

傅里叶变换与傅里叶级数的关系：连续/收敛→离散/谐波/收敛

傅里叶变换与反变换的条件：绝对可积是充分条件（非必要条件）

典型信号的傅里叶变换：δ函数的引入，扩展了傅里叶变换的适用范围；逼近与FT的次序互换；冲激函数幅度的确定

傅里叶变换的导出过程：

① 由非周期信号f(t)构造周期信号fT(t)；

② 由fT(t)推出傅里叶展开TFn

③ 令T→∞，得到傅里叶变换表达式F(jω)

傅里叶反变换的导出过程：

① 由非周期信号f(t)构造周期信号fT(t)；

② 将fT(t)表示为级数展开

③ 令T→∞，得到f(t)傅里叶反变换表达式

满足傅里叶变换充分条件，即在(-∞,+∞)上绝对可积条件的信号的傅里叶变换可以通过定义计算。

冲激函数δ(t)的引入扩展了傅里叶变换的适用范围，部分不满足绝对可积条件的信号（如直流信号）的FT，可以通过求某待定常数的信号（如指数项系数）的FT，来逼近不满足绝对可积信号的FT。

关键的、惊险的一跃：积分和极限调换次序。

2. 傅里叶变换与傅里叶展开的对比（以矩形信号为例）

矩形脉冲信号的FT：Gτ(t)→τ Sa(ωτ/2)

周期矩形脉冲的FS：Fn→τ/T Sa(nΩτ/2)，Ω=2π/T

周期信号的频谱是对应的非周期信号频谱的离散抽样。

非周期的频谱是对应的周期信号频谱的包络。

3. 非周期信号傅里叶变换

常用的傅里叶变换对：

- δ(t)→1

- exp(-at)u(t)→1/(jω+a),a>0

- Gτ(t)→τ Sa(ωτ/2)

- 1→2πδ(ω)

- u(t)→πδ(ω)+1/jω

- sgn(t) → 2/jω

- exp(-a|t|)→2/(ω^2+a^2),a>0

傅里叶变换：F(jω) = int(f(t)·exp(-jωt),t,-inf,inf)=FT[f(t)]

傅里叶反变换：f(t) = 1/2π * int(F(ωt)·exp(jωt),ω,-inf,inf)=IFT[F(jω)]

时域描述f(t)、频域描述F(jω)

一个域中的某种运算在另外一个域中产生什么效果？

运算：分解、展缩、平移、微分、积分、卷积

一个域中的某种特性在另外一个域中对应什么特性？

特性：奇偶对称性、虚实型

4. 连续时间傅里叶变换的性质

傅里叶变换：F(jω) = int(f(t)·exp(-jωt),t,-inf,inf)=FT[f(t)]

傅里叶反变换：f(t) = 1/2π * int(F(ωt)·exp(jωt),ω,-inf,inf)=IFT[F(jω)]

性质有以下14条（证明在这里省略）：

1- 唯一性（时频域一一对应）

如果两个信号的傅里叶变换（反变换）相等，那么这两个信号相等。

如果，FT[f1(t)] = F(jω)，FT[f2(t)] = F(jω)

那么：f1(t) = f2(t)

如果：IFT[F1(jω)] = f(t)，IFT[F2(jω)] = f(t)

那么：F1(jω) = F2(jω)

证明过程：略

证明过程关键点：

① 调换积分次序

② δ(t)的傅里叶反变换，在负无穷到正无穷上exp(jωt)关于ω积分为2πδ(t)

③ δ(t)的取样特性

2- 线性特性

如果：FT[f1(t)] = F1(jω)，FT[f2(t)] = F2(jω)，a,b为常数

那么：FT[a·f1(t)+b·f2(t)] = a·F1(jω) + b·F2(jω)

证明过程：略

3- 奇偶特性

偶信号的频谱是偶函数。

如果：f(t)=f(-t)

那么：F(jω)=F(-jω)

奇信号的频谱是奇函数。

如果：f(t)=-f(-t)

那么：F(jω)=-F(-jω)

证明过程：略

4- 共轭特性

如果：FT[f(t)] = F(jω)

那么：FT[f*(t)] = F*(-jω)

证明过程：略。

推论1：实信号的频谱是共轭对称函数。

推论2：实函数的频谱具有如下性质：

① 实部为偶函数，虚部为奇函数。

② 幅度谱|F(jω)|为偶函数，相位谱φ(ω)为奇函数。

5- 对称特性（时频互易性）

如果：FT[f(t)] = F(jω)

那么：FT[F(jt)] = 2πf(-ω)

如果：F(jω)为实函数

那么：F(jω)可以简写为F(ω)

也就是说：FT[F(t)] = 2πf(-ω)

证明过程：略

对称特性的用途1：根据已知信号的FT，计算复杂信号的FT。

对称特性的用途2：可以求部分不满足绝对可积信号的FT。

6- 时域展缩特性

如果：FT[f(t)] = F(jω)

那么：FT[f(at)] = 1/|a|·F(jω/a)，a非零常量

证明过程：略。

意义：一个信号的时域压缩就形成它的频谱扩展，而信号的时域扩展导致它的频谱压缩。

时域展宽、频域压缩。

时域压缩、频域展宽。

时域展缩特性从理论上证明了信号时域宽度与频域宽度的反比关系。如果将f(t)展缩为f(at)，F(jω)展缩为F(jω/a)/|a|，信号展缩前后的带宽×时宽为常数。

一般而言，时域有限、频谱无限；频域有限，时域无限。但是时域无限，频域不一定有限；频域无限，时域也不一定有限。

偶对称双边指数信号：exp(-a|t|)→2a/(a^2+ω^2),a>0

奇对称双边指数信号：exp(-a|t|)u(|t|)→-2jω/(a^2+ω^2),a>0

7- 时移特性

如果：FT[f(t)] = F(jω)

那么：FT[f(t-t0)] = F(jω)·exp(-jωt0)，其中t0为任意实数。

证明过程：略。

时移特性的特点和物理意义：幅度频谱无变化，f(t)中各频率分量必须成比例的延迟相移。如果信号f(t)在时域发生平移（比如雷达、通信信号从A地到B地）时，相移不成比例，就会发生色散，延迟后的信号就失真了。

8- 频移特性

如果：FT[f(t)] = F(jω)

那么：FT[f(t)·exp(jω0 t)] = F[j(ω-ω0)]，ω0是任意实数

（下面的特性留到了下一个课件里面，先看看说明有这些特性）

9- 时域微分特性

10- 频域微分特性

11- 时域卷积定理

12- 频域卷积定理

13- 时域积分定理

14- 信号能量与频谱关系

5. 奇偶特性和虚实性

时域 频域

偶信号 偶函数

奇信号 奇函数

f*(t) F*(-jω)

实信号 实部为偶函数，虚部为奇函数

实偶信号 实偶函数、虚部为0

实奇信号 虚奇函数、实部为0