假设我们测量了变量 x x x，测得的结果是 x 1 , x 2 , ⋯   , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x1​,x2​,⋯,xn​。令 x ˉ \bar x xˉ是它们的算术平均值， μ \mu μ是 x x x的真实值。

我们使用标准（偏）差（Standard Deviation）来度量数据分布的分散程度。标准差越大，数据分布越离散，反之越集中。

我们在小学/初中学过标准差的计算公式 σ = ∑ i = 1 N ( x i − μ ) 2 N \sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}{N}} σ=N∑i=1N​(xi​−μ)2​ ​其中 μ \mu μ是总体的平均值。但是物理实验中采用的是 S = ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) 2 n − 1 S=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2}{n-1}} S=n−1∑i=1n​(xi​−xˉ)2​ ​其中 x ˉ \bar x xˉ是样本的平均值。那为什么分母变成 n − 1 n-1 n−1了呢？包括我在内的很多人都不理解。

实际上， σ \sigma σ叫做总体标准偏差（Population Standard Deviation），而 S S S叫做样本标准偏差（Sample Standard Deviation），是两种不同的标准偏差。它们的区别何在？总体标准偏差就是你已经知道了所有的数据，比如班级的成绩，然后你要计算它的离散程度。这在物理测量当中是不可能出现的，因为你可以测量无限次。样本标准偏差就是你要用一些数据（样本）来估计整体情况，相当于以偏概全。物理实验中就是这样一种情况，你测得一组数据，然后用这组数据近似表示真实值。在这种情形下，如果我们测得一组数据 x 1 , x 2 , ⋯   , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x1​,x2​,⋯,xn​，用总体标准偏差 σ \sigma σ来表征离散程度的话，就出现问题了：总体平均值，也就是真实值 μ \mu μ，我们是不知道的。那我们用 x ˉ \bar x xˉ代替 μ \mu μ，就会导致：我们计算的是 x 1 , x 2 , ⋯   , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x1​,x2​,⋯,xn​围绕样本的平均值 x ˉ \bar x xˉ的离散程度，而不是围绕真实值 μ \mu μ的离散程度。对于一组数 x 1 , x 2 , ⋯   , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x1​,x2​,⋯,xn​和一个变量 t t t，令 f ( t ) = ∑ i = 1 n ( x i − t ) 2 f(t)=\sum\limits_{i=1}^n(x_i-t)^2 f(t)=i=1∑n​(xi​−t)2，这是一个开口向上的二次函数，在 t = − b 2 a = ∑ i = 1 n 2 x i 2 n = ∑ i = 1 n x i n = x ˉ t=-\frac{b}{2a}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n2x_i}{2n}=\frac{\sum\limits_{i=1}^nx_i}{n}=\bar x t=−2ab​=2ni=1∑n​2xi​​=ni=1∑n​xi​​=xˉ的时候取得最小值。也就是说， ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) 2 ≤ ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 \sum\limits_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2\le\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\mu)^2 i=1∑n​(xi​−xˉ)2≤i=1∑n​(xi​−μ)2。这就意味着，我们低估了数据的离散程度。我们需要将分母改为 n − 1 n-1 n−1，来稍稍增大偏差的值。

那为什么是 n − 1 n-1 n−1呢？纯统计学的严格证明颇为复杂，但我们可以用一种别样的思考方式。现在我们获得的样本有 n n n个测量结果，就是有 n n n条独立的信息。我们已经知道 x ˉ \bar x xˉ，如果再知道 x 1 − x ˉ , x 2 − x ˉ , ⋯   , x n − 1 − x ˉ x_1-\bar x,x_2-\bar x,\cdots,x_{n-1}-\bar x x1​−xˉ,x2​−xˉ,⋯,xn−1​−xˉ，那 x n − x ˉ x_n-\bar x xn​−xˉ自然就知道了。现在我们把这些偏差的平方加起来，应该只有 n − 1 n-1 n−1条独立的信息，所有除以 n − 1 n-1 n−1才说得通。专业的名词叫做有 n − 1 n-1 n−1个“自由度”。

其实到这里你也许还是没有理解。是的，我也没有理解。在系统学习统计学之前是不可能理解的。但是很多人对采用 n − 1 n-1 n−1作为分母的说法是“约定俗成的”，即用 n − 1 n-1 n−1更符合统计规律。所以我们也不用在乎那么多了，记住在物理实验的时候用 n − 1 n-1 n−1作为分母来算标准偏差就好了。

最后，我想说的是，当 n → ∞ n\to\infty n→∞的时候，即测量无限次，那 x ˉ \bar x xˉ就是 μ \mu μ， σ \sigma σ和 S S S的比值就会趋近于 1 1 1，这时总体标准偏差和样本标准偏差就是一回事了。

还是讨论物理实验中的问题。我们刚才讲了标准偏差（Standard Deviation），它的公式是 S = ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) 2 n − 1 S=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2}{n-1}} S=n−1∑i=1n​(xi​−xˉ)2​ ​关于分母为什么是 n − 1 n-1 n−1就已经够让我们头疼了，现在又冒出来一个标准误（Standard Error of Mean），这玩意又是什么呢？

标准误的含义用来估计样本平均值和真实值有多少差异的，用 σ x ˉ \sigma_{\bar x} σxˉ​表示。例如， x ˉ = 0.370 \bar x=0.370 xˉ=0.370， σ x ˉ = 0.002 \sigma_{\bar x}=0.002 σxˉ​=0.002，那么测量结果就写成 0.370 ± 0.002 0.370\pm0.002 0.370±0.002。

对于标准偏差和标准误的区别，知乎上有一个我感觉很好的解释： 举个栗子，现在我们测量了 200 200 200次，分为 20 20 20组，每组 10 10 10个数取一个平均值，那这 20 20 20个平均值的标准偏差就是这 200 200 200个数据的标准误。

标准误的计算公式是 σ x ˉ = S n = ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) 2 n ( n − 1 ) \sigma_{\bar x}=\frac{S}{\sqrt n}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2}{n(n-1)}} σxˉ​=n ​S​=n(n−1)∑i=1n​(xi​−xˉ)2​ ​ 为什么要除以 n \sqrt n n ​呢？我们考虑 n x ˉ = x 1 , x 2 ⋯   , x n n\bar x=x_1,x_2\cdots,x_n nxˉ=x1​,x2​⋯,xn​的标准偏差，而 x 1 , x 2 ⋯   , x n x_1,x_2\cdots,x_n x1​,x2​⋯,xn​是相互独立的，所以它们的标准偏差都等于 S S S，其中 S S S是 x x x的标准偏差。那么 σ n x ˉ 2 = n S 2 \sigma_{n\bar x}^2=nS^2 σnxˉ2​=nS2，即 n 2 σ x ˉ 2 = n S 2 n^2\sigma_{\bar x}^2=nS^2 n2σxˉ2​=nS2， σ x ˉ = S n \sigma_{\bar x}=\frac{S}{\sqrt n} σxˉ​=n ​S​。

本文到这里就结束了，还是留下了太多没有解决的问题，以后慢慢补上吧，总之物理实验直接套公式就行了，不用操那么多心~

2022/11/28更新：现在学了概率论与数理统计，有了新的理解，请看这里–>【概率论】关于为什么样本标准偏差分母是n-1的进一步理解。