∫ 0 2 π ( 1 − cos ⁡ t ) 3   d t \int_{0}^{2 \pi}(1-\cos t)^{3}\ d t ∫02π​(1−cost)3 dt，令 1 − cos ⁡ t = a , t ∈ ( 0 , 2 π ) , t = arccos ⁡ ( 1 − a ) , a ∈ ( 0 , 0 ) 1-\cos t=a,t\in(0,2\pi),t=\arccos(1-a),a\in(0,0) 1−cost=a,t∈(0,2π),t=arccos(1−a),a∈(0,0)

由于 arccos ⁡ x \arccos x arccosx 函数的值域限制，即函数取不到 2 π 2\pi 2π ，所以该换元是不成立的

以同济教材表述的换元积分法为例，同济表述：

假设函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上连续，函数 x = φ ( t ) x=\varphi(t) x=φ(t) 满足条件：

(1) φ ( α ) = a , φ ( β ) = b \varphi(\alpha)=a, \varphi(\beta)=b φ(α)=a,φ(β)=b；🌟

(2) φ ( t ) \varphi(t) φ(t) 在 [ α , β ] [\alpha, \beta] [α,β] (或 [ β , α ] ) [\beta, \alpha]) [β,α]) 上具有连续导数，且其值域 R φ = [ a , b ] R_{\varphi}=[a, b] Rφ​=[a,b]，则有： ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a β f [ φ ( t ) ] φ ′ ( t ) d t . \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{\beta} f[\varphi(t)] \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t . ∫ab​f(x)dx=∫aβ​f[φ(t)]φ′(t)dt. 上述公式称做定积分的换元公式。

我们可以看出🌟条件是不满足的，从这个角度来说，换元积分法的前提不被满足。