对于模型

y=\beta_{0}+\beta_{1} x_{1}+\beta_{2} x_{2}+\epsilon_{1} \\

系数 \beta_{1}=\partial y /\left.\partial x_{1}\right|_{x_{2}=\bar{x}_{2}}, 也就是当 x_{2} 取样本均值 \bar{x}_{2} 时， x_{1} 变动一个单位对 y 的影响。 当我们加入交乘项 x_{1} x_{2} 后, x_{1} 的系数含义发生了很大的变化。

y=\theta_{0}+\theta_{1} x_{1}+\theta_{2} x_{2}+\theta_{3} x_{1} x_{2}+\epsilon_{2} \\

先看 x_{1} 对 y 的边际影响: \partial y / \partial x_{1}=\theta_{1}+\theta_{3} x_{2}, 这是大家都了解的基本结论: 包含交乘项时, x_{1} 对 y 的边际影响不再 是常数, 而是随着 x_{2} 的取值不同而发生变化。

若想让加入交乘项前后的模型 (1) 和模型 (2) 中主变量 \left(x_{1}\right) 的系数具有可比性, 可以采用如下模型设定形式

y=\gamma_{0}+\gamma_{1} x_{1}+\gamma_{2} x_{2}+\gamma_{3}\left(x_{1}-\bar{x}_{1}\right)\left(x_{2}-\bar{x}_{2}\right)+\epsilon_{3} \\

其中, \bar{x}_{1} 和 \bar{x}_{2} 分别表示 x_{1} 和 x_{2} 的样本均值。 此时，主变量 \left(x_{1}\right) 的系数 \gamma_{1} 会非常接近基于模型 (1) 得到的 \beta_{1} :

\gamma_{1}=\left.\frac{\partial y}{\partial x_{1}}\right|_{x_{2}=\bar{x}_{2}} \\

大家可能更加关心交乘项的系数是否会发生变化， 答案是: 不会! 因为, 模型 (3) 相对于模型 (2) 无非是增加了一些一阶项和常数项, 而交乘项并未发生变化。我们也可以用更为正式的方式 来得到这一结论。对于模型 (2) 而言, \partial\left[\partial y / \partial x_{1}\right] / \partial x_{2}=\theta_{3}, 而在模型 (3) 中 \partial\left[\partial y / \partial x_{1}\right] / \partial x_{2}=\gamma_{3} 。

对于该问题，首先要明确引入主效应项和交乘项的目的何在。引入主效应项是为了区分截距，而引入交乘项是为了区分斜率。在接下来的分析中，我们会进一步阐述这句话背后的具体含义。

基于此，对于该问题的回答应为"分情况讨论"。

下面，我们通过几个实证的例子来进一步解释说明。

首先，导入数据

. d

该数据记录了不同个体的性别信息(female)，组别信息 (grp)，以及不同科目的成绩信息(read, write, math, science, socst, honors)。 数据结构如下所示。

我们将既包含交乘项也包含主效应项的模型成为 "完整模型"(full model)。在这个例子中，我们对类别变量female以及类别变量 grp进行交乘。

在进行分析之前，我们首先明确各系数的含义。从常数项 (_cons)开始，41.82609表示组别1 男性(female == 0, grp1 == 1)的写作分数(write)。

以此为基准，我们列表分析不同组别不同性别的人群的写作分数。下表按照回归结果，计算了不同组别的男性和女性的写作分数。

以 female == 1, group == 2为例，group 2 的女性的写作水平为 41.83 + 9.14 + 7.31 - 5.03 = 53.25。

我们也可以通过 margins命令直接得到上述计算结果。

我们可以看到grp1 grp2 以及 grp3 的回归结果与完整模型是完全一致的。可以直观看到，完整模型的female 的系数其实和模型 2 的 female#grp1 的系数完全一致。而female#grp2 的系数其实等于完整模型 female 的系数加上完整模型的female#grp2的系数，即4.10 = 9.13 - 5.03。

在这种情况下，模型中未引入主效应项的主要影响是重整Stata 汇报的回归系数。其结果其实和完整模型的回归结果是一致的。Stata自行发现了被忽略的主效应项，并汇报了 4 个交乘项的结果，而非像完整模型那样汇报 3 个。这样，完整模型的自由度与模型 2 的自由度均为 7。

接下来，我们探讨一个关于 显著性 的问题。完整模型的回归结果中，female#grp3的 p-value为 0.236，是不显著的。而当去掉 female的主效应后，female#grp3 的 p-value为0.011, 在 5% 的水平上显著。该如何理解这一系数显著性的变化呢？

在完整模型中，female#grp3的系数报告的是group 3的性别差异与 group 1的性别差异之差 (across group difference of gender difference)。系数不显著说明，group 3不同性别成员间的写作水平差异并没有显著高于或者低于 group 1 不同性别成员间的写作水平差异。female#grp4 的系数为 -9.831，并且在 1% 的水平上显著。这说明，相较于 group 1，group 4的不同性别成员间的写作水平差异显著低了 9.83。由此推测两种可能结果。第一，group 4不同性别成员间并无显著写作水平差距。第二，group 4不同性别成员间虽有显著写作水平差距，但是该差距小于 group 1。

模型 2 也汇报了 female#grp3的系数，但是却是完全不同的含义。该系数报告的是 group 3的性别差异(within group gender difference)。该系数为 5.415，且在 5% 的水平上显著。这说明 group 3 的女性的写作水平比该组男性显著高出 5.415 分。值得注意的是，female#grp4 的系数此时不显著。这说明group 4 的女性的写作水平与该组男性的写作水平并无显著差异。该结论支持推测的第一种结果。

将两个模型放到一起看，我们关于各组性别差异得到的信息如下。

（1） 组内性别差异 （within-group gender difference） group 1, group 2 以及 group 3的女性的写作水平显著高于同组男性的写作水平。group 4各成员的写作水平并不存在性别层面上的显著差异。该信息由模型 2 给出。

（2）组间性别差异之差（across-group difference of gender difference） 以 group 1组内成员写作水平的性别差异为基准，group 2和 group 3 组内成员写作水平的性别差异并无显著差异。然而，group 4 组内成员写作水平的性别差异显著低于基准组。

主要回归命令及实证建议归纳如下。

参见连享会推文：