最近做时间序列分析的时候需要用到奇异谱分析，发现网上可以查到的资料很有限，看paper的时候发现大部分也说得有些简略，所以这里看完之后总结一下。

  奇异谱分析(Singular Spectrum Analysis, SSA)是一种处理非线性时间序列数据的方法，通过对所要研究的时间序列的轨迹矩阵进行分解、重构等操作，提取出时间序列中的不同成分序列(长期趋势，季节趋势，噪声等)，从而进行对时间序列进行分析或去噪并用于其他一些任务。   奇异谱分析主要包括四个步骤：嵌入——分解——分组——重构。

  SSA的分析对象是有限长一维时间序列 [ x 1 , x 2 , . . . , x N ] [x_1, x_2,...,x_N] [x1​,x2​,...,xN​]， N N N 为序列长度。首先需要选择合适的窗口长度 L L L 将原始时间序列进行滞后排列得到轨迹矩阵： X = [ x 1 x 2 ⋯ x N − L + 1 x 2 x 3 ⋯ x N − L + 2 ⋮ ⋮ ⋮ x L x L + 1 ⋯ x N ] \boldsymbol{X}=\left[\begin{array}{cccc}{x_{1}} & {x_{2}} & {\cdots}& {x_{N- L+1}} \\ {x_{2}} & {x_{3}} & {\cdots} & {x_{N-L+2}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {} & {\vdots} \\ {x_{L}} & {x_{L+1}} & {\cdots} & {x_{N}}\end{array}\right] X=⎣⎢⎢⎢⎡​x1​x2​⋮xL​​x2​x3​⋮xL+1​​⋯⋯⋯​xN−L+1​xN−L+2​⋮xN​​⎦⎥⎥⎥⎤​通常情况下取 L < N / 2 L ⋯ > λ L ⩾ 0 \lambda_{1}>\lambda_{2}>\cdots>\lambda_{L} \geqslant 0 λ1​>λ2​>⋯>λL​⩾0 和对应的特征向量 U 1 , U 2 , ⋯   , U L U_{1}, U_{2}, \cdots, U_{L} U1​,U2​,⋯,UL​。此时 U = [ U 1 , U 2 , ⋯   , U L ] \boldsymbol{U} =[U_{1}, U_{2}, \cdots, U_{L}] U=[U1​,U2​,⋯,UL​]， λ 1 > λ 2 > ⋯ > λ L ⩾ 0 \sqrt{\lambda_{1}}>\sqrt{\lambda_{2}}>\cdots>\sqrt{\lambda_{L}} \geqslant 0 λ1​ ​>λ2​ ​>⋯>λL​ ​⩾0为原序列的奇异谱 。并且有 X = ∑ m = 1 L λ m U m V m T , V m = X T U m / λ m , m = 1 , 2 , . . . , L \boldsymbol{X}=\sum_{m=1}^{L} \sqrt{\lambda_{m}} U_{m} V_{m}^{T}, \quad V_{m}=\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} U_{m} / \sqrt{\lambda_{m}}, \quad m=1,2,...,L X=m=1∑L​λm​ ​Um​VmT​,Vm​=XTUm​/λm​ ​,m=1,2,...,L 这里 λ i \lambda_{i} λi​ 对应的特征向量 U i U_{i} Ui​ 反映了时间序列的演变型，称为时间经验正交函数(T-EOF)。

实际上python已经提供了奇异值分解的函数np.linalg.svd()可以很方便的计算。关于奇异值分解更详细的介绍可以看这篇博客。

  关于分组，文献中很常见的叙述是下面这样：

简单来说将所有的 L L L 个成分分为 c c c 个不相交的组，代表着不同的趋势成分。这样接下来选择主要的成分进行重构得到重构序列。Emmm。。。。这样介绍可真是太简洁明了导致动手实现的时候真是一脸懵。

  因此在实现的时候参考了另一个版本，这里将分组和重构放到一块吧。。。。。这个版本有助于实现但是ran半天ran不清哪里是分组，被自己菜哭。。。。。。。。。。

  所以这里接分解步。首先计算迟滞序列 X i X_i Xi​ 在 U m U_m Um​ 上的投影： a i m = X i U m = ∑ j = 1 L x i + j U m , j , 0 ≤ i ≤ N − L a_{i}^{m}=\boldsymbol{X}_{i} U_m=\sum_{j=1}^{L} x_{i+j} U_{m,j}, \quad 0\leq{i}\leq{N-L} aim​=Xi​Um​=j=1∑L​xi+j​Um,j​,0≤i≤N−L X i X_i Xi​ 表示轨迹矩阵 X \boldsymbol{X} X 的第 i i i 列， a i m a_{i}^{m} aim​ 是 X i \boldsymbol{X}_{i} Xi​ 所反映的时间演变型在原序列的 x i + 1 , x i + 2 , … , x i + L x_{i +1} , x_{i +2} ,…, x_{i +L} xi+1​,xi+2​,…,xi+L​时段的权重, 称为时间主成分(TPC)。看到这里应当发现了，由 a i m a_{i}^{m} aim​ 构成的矩阵实际上就是没有归一化的右矩阵， 即 λ m V m \sqrt{\lambda_{m}}V_{m} λm​ ​Vm​ ！   接下来就可以通过时间经验正交函数和时间主成分来进行重建，具体重构过程如下： x i k = { 1 i ∑ j = 1 i a i − j k U k , j , 1 ⩽ i ⩽ L − 1 1 L ∑ j = 1 L a i − j k U k , j , L ⩽ i ⩽ N − L + 1 1 N − i + 1 ∑ j = i − N + L L a i − j k E k , j , N − L + 2 ⩽ i ⩽ N x_{i}^{k}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{i} \sum_{j=1}^{i} a_{i-j}^{k} U_{k, j}, \quad 1 \leqslant i \leqslant L-1} \\ \\{\frac{1}{L} \sum_{j=1}^{L} a_{i-j}^{k} U_{k, j}, \quad L \leqslant i \leqslant N-L+1} \\ \\ {\frac{1}{N-i+1} \sum_{j=i-N+L}^{L} a_{i-j}^{k} E_{k, j}, \quad N-L+2 \leqslant i \leqslant N}\end{array}\right. xik​=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧​i1​∑j=1i​ai−jk​Uk,j​,1⩽i⩽L−1L1​∑j=1L​ai−jk​Uk,j​,L⩽i⩽N−L+1N−i+11​∑j=i−N+LL​ai−jk​Ek,j​,N−L+2⩽i⩽N​ 这样，所有重构序列的和应当等于原序列，即 x i = ∑ k = 1 L x i k i = 1 , 2 ⋯   , N x_{i}=\sum_{k=1}^{L} x_{i}^{k} \quad i=1,2 \cdots, N xi​=k=1∑L​xik​i=1,2⋯,N 通常情况下我们使用SSA只是为了提取原序列的主要成分，以去噪为例，我们只需要根据奇异值的大小选择前 k ( k ≤ L ) k(k \leq L) k(k≤L) 个贡献大的成分重构原序列即可。

运行程序结果如下，左边是原始序列，右边是按奇异值排序的前十个成分序列，可以看到除了前几个剩余的基本都可以视为噪声序列。 如果取前五个序列重构，最后重构出的序列如下 相比原序列可以看到重构出的序列明显比原序列平滑，但是同时保持了总体的变化情况。

https://www.cnblogs.com/endlesscoding/p/10033527.html 基于SSA的GPS坐标序列去噪及季节信号提取