操作使用数据情况如下：

表1  2022年中国31个省份增加值指标

地区

工业增加值

建筑业增加值

农林牧渔业增加值

金融业增加值

交通运输、仓储和邮政业增加值

江苏省

48593.6

7377.8

5369.5

9689.9

3655.6

山东省

28739

6424.5

6769

5203.1

4911

河南省

19592.8

5951.6

6169.8

3301.4

3721.1

福建省

19628.8

5518.9

3191.9

3889.8

1960

广东省

47723

5247.6

5531.6

11825.8

4040.9

四川省

16412.2

4888.6

6133.1

3840.1

1587.5

安徽省

13792

4819.4

3722.3

2935.1

2171.7

浙江省

28871.3

4388.1

2397

6690

2375.5

湖南省

15025.3

4174.9

4873.4

2421.5

1696.9

湖北省

17546.3

3741.6

5321.9

3639.7

2313.9

重庆市

8276

3417.9

2058.6

2491

1084

云南省

7197.1

3282.4

4090.1

1594.6

1335.4

陕西省

13158.3

2893

2710.6

2109.7

1293.8

江西省

11770.3

2597.2

2577.8

2140.5

1341.7

河北省

14675.3

2413.6

4697.4

2931.8

3013.3

广西壮族自治区

6775.9

2180.4

4404.2

1834.7

1098.3

贵州省

5493.1

1626.2

3020.4

1193.5

838.2

北京市

5036.4

1614.2

113.2

8196.7

879.2

辽宁省

10239.1

1598.7

2685.8

2138.3

1367.6

内蒙古自治区

9703.9

1538

2710

981.7

1317.9

新疆维吾尔自治区

6022.8

1355.7

2654.6

1216.9

845.3

山西省

12758.6

1093.3

1415.4

1359

1198.5

吉林省

3737.9

927.2

1742.3

1000.4

592.1

上海市

10794.5

743.6

104.9

8626.3

1914.5

天津市

5402.7

724.7

283.4

2197.3

1061.1

甘肃省

3297.2

657.6

1561.3

925.1

555.6

西藏自治区

200.8

603.9

185

215.4

42.5

海南省

770.1

545.6

1471.4

438.7

371.9

黑龙江省

4257.6

460.3

3710.9

1127.2

553.1

宁夏回族自治区

2094

357.2

428.6

352.2

213.5

青海省

1228.7

357

385

286.2

155.2

一、系统聚类法(层次聚类法)

在SPSS数据窗口中录入上表中的数据，然后选择 Analyze - Classify 命令， Classify 命令下有两个常用的聚类分析命令。此处我们选择系统聚类法，并打开相应的对话框，然后将5个指标变量选入 Variable 框中，将表示省份的变量选入 Label Cases by 框中。在下面的 Cluster 中有两个选项，分别是 Cases （表示对样品聚类或 Q 型聚类）和 Variables （表示对变量聚类或 R 型聚类）。这里，我们点选 Cases ，选择对样品进行聚类。 Display 部分也有两个选项，分别是 Statistics （统计量）和 Plots （图），即可以选择输出统计量或图形，或二者均输出，此处选择二者均输出。

在对话框的最右侧有 Statistics , Plots , Method , Save 四个按钮：

（1）Statistics 中有 Agglomeration schedule （每一阶段聚类的结果） Proximity matrix （样品间相似性矩阵），还有 Cluster Membership 。 Cluster Membership 框架下可以指定聚类的个数， None 选项为不指定聚类个数， Single solution 为指定一个确定的聚类个数（如3)， Range of solutions 为指定聚类个数的范围（如2~4）。

（2） Plots 中有 Dendrogram （谱系聚类图或树状聚类图）、 Icicle （冰柱图）、 Orientation （冰柱图的方向， Horizontal 为水平方向， Vertical 为垂直方向）。此处我们选择 Horizontal ，点击 Continue 继续。

（3）Method 中， Cluster Method 可以选择聚类的方法（如最短距离法或离差平方和方法等）， Measure 可以选择距离的计算方法（如欧氏距离或明考斯基距离等）， Transform Values 可以选择是否对数据进行处理及相应的处理方法。此处我们选择 Within - groups linkage （组内联结法）和平方欧氏距离，并选择 Z scores （对数据进行标准化处理），点击 Continue 继续。

（4）Save 中可以选择保存样本的聚类结果，此处我们选择保存样本被聚为5类的结果。点击 Save ，在弹出对话框中点选 Single solution ，然后在其下方 Number of clusters 右侧的框中填入5，点击 Continue 继续，点击 OK 运行。运行结束后，数据窗口（ Data View ）中将会多出一个变量名为CLU5_1的新变量，此变量的取值即为将所有样品聚为5类时应得的分类结果。

选定聚类的方法和需要输出的图表后，点击 OK 运行，则可得到一系列输出结果如下。

表2 个案处理摘要

个案

有效

缺失

总计

个案数

百分比

个案数

百分比

个案数

百分比

31

100.0%

0

0.0%

31

100.0%

a.  平方欧氏距离 使用中

表1-1为个案处理摘要，本例个案共31个。

表3 集中计划

阶段

组合聚类

系数

首次出现聚类的阶段

下一个阶段

聚类 1

聚类 2

聚类 1

聚类 2

1

29

30

.009

0

0

4

2

7

28

.028

0

0

6

3

14

27

.040

0

0

8

4

26

29

.042

0

1

11

5

24

31

.053

0

0

9

6

7

21

.104

2

0

11

7

5

6

.158

0

0

9

8

14

22

.267

3

0

18

9

5

24

.283

7

5

12

10

20

25

.359

0

0

18

11

7

26

.394

6

4

15

12

4

5

.487

0

9

16

13

12

13

.562

0

0

21

14

17

18

.573

0

0

17

15

2

7

.586

0

11

25

16

4

8

.714

12

0

19

17

17

23

.735

14

0

21

18

14

20

.815

8

10

19

19

4

14

1.097

16

18

22

20

1

9

1.173

0

0

27

21

12

17

1.244

13

17

24

22

3

4

1.626

0

19

25

23

10

19

1.711

0

0

30

24

12

16

2.077

21

0

26

25

2

3

2.491

15

22

27

26

11

12

2.856

0

24

28

27

1

2

3.562

20

25

29

28

11

15

4.366

26

0

29

29

1

11

7.054

27

28

30

30

1

10

10.000

29

23

0

表3是对每一阶段聚类结果的展示，其中 Coefficients 表示聚类系数，表中第2列和第3列表示聚合的类。比如第一阶段，第29个样本和第30个样本聚为一类，注意此时有30类（31-1=30）。因此，某阶段的分类数等于总的样本数减去这个阶段的序号。

图1 碎石图

另外，使用 Excel 作出表3中的聚合系数随分类数变化的曲线，如上图可知，当分类数大于5时，曲线的变化趋势较为平缓，同时此分类数也较符合分类的目的。

图2 冰柱图

图2为冰柱图，是反映样品聚类情况的图形，冰柱图形象地展示了聚类的动态过程。

对于纵向的冰柱图可以自下而上看出聚类的过程，首先，从最下面看，代表青海和宁夏的两条冰柱之间的冰柱最长，它对应的类数是30，表示青海和宁夏先被聚为一类。其次是吉林与甘肃之间的冰柱长度，对应的类数是29，则第二步吉林与甘肃被聚为一类。同理，第三步江西与陕西被聚为一类，此时共有28类。第四步西藏与青海被聚为一类，即西藏、青海和宁夏被聚为一类，此时共有27类。依此类推，直至冰柱长度对应的类数为1时，将北京所在的类和江苏所在的类聚在一起成为一个类。另外，对于给定的类数，若要从冰柱图中得知每类所包含的样本，只需找到长度小于对应该给定类数的冰柱。然后，以这些冰柱为分隔点，从左起至第一个分隔点之间的样品为一类，第一个与第二个分隔点之间的样品为第二类，依此类推，直至最后一个分隔点至最右边为最后一类。

例如，对于图2，若设定类数为5，则需要找到冰柱长度对应类数小于5的冰柱，它们是江苏与广东之间的冰柱、北京与上海之间的冰柱、浙江与重庆之间的冰柱、山东为单独一类、其余各省为一类。

图3 树状聚类图

图3为树状聚类图，从该图可以由分类个数得到分类情况，如果选择类数为5，就从距离大概为8的地方往下切，得到的分类结果如上面冰柱图中举例所述。江苏和广东聚为一类；山东是单独的一类；浙江、安徽、福建、河南、湖北、湖南、重庆聚为一类；北京和上海聚为一类；剩下的各省均为一类。从农林牧渔业增加值和交通运输业增加值来看，山东省位于全国第1位，因此被单独分为一类。而第二类（江苏省和广东省）对应的工业增加值和建筑业增加值水平较高，其中广东省的金融业增加值最高。第三类（北京市和上海市）对应的金融业增加值较高，农林牧渔业增加值最低，因此将二者分为一类。

二、快速聚类法（K-means）

同样，我们采用表1中的数据，试图将31个省份使用快速聚类法（ K - Means Cluster ）对样品进行聚类。由于原始数据的量纲一致，因此不需要对数据进行标准化。

在 SPSS 软件中选择 Analyze → Classify → K - Means Cluster ，打开 K-均值聚类对话框，然后将5个指标变量选入 Variables 框，并将表示省份的变量选入 Label Cases by 框。将分类数（ Number of Clusters ）设为5，点击对话框右侧的 Options 选项并打开对话框，然后选择 Initial cluster centers （初始分类中心）、 ANOVA table （方差分析表）、 Cluster information for each case （每个样品的分类信息），点击 Continue 继续，点击 OK 运行，可得到如下结果。

表4 初始聚类中心

聚类

1

2

3

4

5

工业

5036

201

28739

48594

16412

建筑

1614

604

6425

7378

4889

农业

113

185

6769

5370

6133

金融

8197

215

5203

9690

3840

交通运输

879

43

4911

3656

1588

输出结果中，表4列出了初始各类的中心，也就是种子点。

表5 样本的分类情况

个案号

地区

聚类

距离

1

北京

1

6803.870

2

天津

2

2864.987

3

河北

5

2579.200

4

山西

1

4243.398

5

内蒙

1

2434.565

6

辽宁

1

1665.755

7

吉林

2

565.741

8

黑龙

2

2419.486

9

上海

1

6160.917

10

江苏

4

1583.706

11

浙江

3

2824.821

12

安徽

5

2650.377

13

福建

5

3959.030

14

江西

1

2910.944

15

山东

3

2824.821

16

河南

5

4333.764

17

湖北

5

1682.280

18

湖南

5

1522.561

19

广东

4

1583.706

20

广西

1

3539.698

21

海南

2

2536.836

22

重庆

1

1860.295

23

四川

5

1902.963

24

贵州

2

2853.807

25

云南

1

3425.713

26

西藏

2

3444.723

27

陕西

5

4110.231

28

甘肃

2

123.434

29

青海

2

2470.101

30

宁夏

2

1770.979

31

新疆

2

3078.786

表5是样品的分类情况。这里我们看到快速聚类法将31个省份分为五类。分别是1：{北京，山西，内蒙，辽宁，上海，江西，广西，重庆，云南}； 2：{天津，吉林，黑龙江，海南，贵州，西藏，甘肃，青海，宁夏，新疆}； 3：{山东，浙江}； 4：{江苏，广东}； 5{河北，安徽，福建，河南，湖北，湖南，四川，陕西}。该结果与系统聚类的结果略有不同，但大体一致。

表6 最后各类的中心

聚类

1

2

3

4

5

工业

9172

3250

28805

48158

16229

建筑

2007

762

5406

6313

4300

农业

2240

1544

4583

5451

4603

金融

3263

895

5947

10758

3134

交通运输

1282

523

3643

3848

2220

表6是样品的最后聚类中心情况。

表7 方差分析表

ANOVA

聚类

误差

F

显著性

均方

自由度

均方

自由度

工业

1034260063.788

4

5190653.652

26

199.254

.000

建筑

25782544.139

4

909038.113

26

28.362

.000

农业

15987109.875

4

2074052.426

26

7.708

.000

金融

45582443.940

4

3059529.523

26

14.899

.000

交通运输

8511223.792

4

362426.149

26

23.484

.000

由于已选择聚类以使不同聚类中个案之间的差异最大化，因此 F 检验只应该用于描述目的。实测显著性水平并未因此进行修正，所以无法解释为针对“聚类平均值相等”这一假设的检验。

表7为方差分析表，但是应该注意F值只能作为描述使用，不能根据该值判断各类均值是否有显著差异。另外，从方差分析表可以看出，这5个变量对分类的贡献均显著。