迭代法的收敛条件及收敛阶

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迭代法的收敛条件及收敛阶

2024-04-05 11:22| 来源: 网络整理| 查看: 265

迭代法的收敛条件有三个定理，其中定理1、定理2讲的都是全局性收敛，定理3讲的是局部性收敛。

定理1：方程 $x = \varphi (x)$ ， $\varphi (x)\in C[a,b]$ ，且满足以下两条件：

（1）当 $x\in [a,b]$ ， $\varphi (x)\in [a,b]$ ；

（2）存在常数 $0L1$ ，对任意的 $x,y\in [a,b]$ ，有 $|\varphi(x)-\varphi (y)|\leq L|x-y|$ ；

则（1） $x=\varphi (x)$ 在 $[a,b]$ 上有唯一解 $x^*$ ；

（2）任取 $x_0\in [a,b]$ ，由 $x_{k+1}=\varphi (x_k)$ 得到的序列 $\lbrace{x_k}\rbrace$ 收敛于 $x^*$ ，即有 $\lim_{k\to\infty }x_k=x^*$ ;

（3）成立误差估计式：

$|x_k-x^*|\leq \frac{L}{1-L}|x_k-x_{k-1}|$ ，

$|x_k-x^*|\leq \frac{L^k}{1-L}|x_1-x_0|$ ， $k=1,2,3,\cdots$ 。

上面为事后估计式，表示可用相邻两次迭代值之差地绝对值来估计误差，可作为迭代终止条件。

下面称为事前估计式，可以估计出要达到给定精度 $\epsilon$ 所需次数 $n$ 。

定理2：将定理1条件改为：

方程 $x = \varphi (x)$ ， $\varphi (x)\in C[a,b]$ ， $\varphi (x)$ 在 $(a,b)$ 可导，且满足以下两条件：

（1）当 $x\in [a,b]$ ， $\varphi (x)\in [a,b]$ ；

（2） $|\varphi ' (x)|\leq L 1$ ，当 $x\in [a,b]$ ；

则结论同定理1。

定理3： $x^*$ 是方程 $x=\varphi (x)$ 的根， $\varphi(x)$ 在 $x^*$ 的一个邻域 $R=\lbrace{x||x-x^*|\delta }\rbrace$ 内导数存在，且存在正常数 $L1$ ，使 $|\varphi '(x)|\leq L 1$ ，则任取初值 $x_0\in R$ ，迭代序列 $x_{k+1}=\varphi (x_k)$ 收敛于 $x^*$ 。

反之，若在 $x^*$ 的邻域 $R$ 内 $|\varphi '(x)|\geq 1$ ，则迭代形式发散。

例题：判断用以下迭代法求 $f(x)=x^3-3x+1=0$ 在 $(1,2)$ 的实根时的敛散性。

（1） $x=\frac{1}{3}(x^3+1)$

（2） $x=\sqrt[3]{3x-1}=(3x-1)^{\frac{1}{3}}$

解答：

（1） $\varphi'(x)=x^21$ ，故此迭代格式发散；

（2） $\varphi'(x)=(3x-1)^{-\frac{2}{3}}1$ ，故此迭代格式收敛。

迭代法的收敛阶：

定义：设迭代过程 $x_{k+1}=\varphi (x_k)$ 收敛于方程 $x=\varphi (x)$ 的根 $x^*$ ，如果迭代误差 $e_k=x_k-x^*$ ，且 $\lim_{k \to \infty}\frac{|e_{k+1}|}{|e_k|^p}=c\neq 0$ 成立，则称序列 $\lbrace{x_k}\rbrace$ 收敛于 $x^*$ 具有 $p$ 阶收敛速度，简称 $\lbrace{x_k}\rbrace$ 是 $p$ 阶收敛的。常数 $c$ 称为渐进收敛常数，也称为收敛因子。