对于三角函数有理式的积分 ∫ R ( cos ⁡ x , sin ⁡ x ) d x \int R(\cos x, \sin x) d x ∫R(cosx,sinx)dx。 可以利用万能公式进行计算，但是也可以采用其它替换方法

如果不符合上述所有情况，则可以进行万能公式替换，然后通过有理函数积分进行求解。

证明（此处只证明1、3，2和1雷同）：

①我们令： R ( cos ⁡ x , sin ⁡ x ) sin ⁡ x = R 1 ( cos ⁡ x , sin ⁡ x ) \frac{R(\cos x, \sin x) }{\sin x}= R_1(\cos x, \sin x) sinxR(cosx,sinx)​=R1​(cosx,sinx) 则有： R 1 ( cos ⁡ x , − sin ⁡ x ) = R ( cos ⁡ x , − sin ⁡ x ) − sin ⁡ x = R ( cos ⁡ x , sin ⁡ x ) sin ⁡ x = R 1 ( cos ⁡ x , sin ⁡ x ) R_1(\cos x, -\sin x)=\frac{R(\cos x, -\sin x) }{-\sin x}=\frac{R(\cos x, \sin x) }{\sin x}=R_1(\cos x, \sin x) R1​(cosx,−sinx)=−sinxR(cosx,−sinx)​=sinxR(cosx,sinx)​=R1​(cosx,sinx) 根据上式，我们可知 sin ⁡ x \sin x sinx是以偶数次方的形式出现，因此我们令： R 1 ( cos ⁡ x , sin ⁡ x ) = R 2 ( cos ⁡ x , sin ⁡ 2 x ) R_1(\cos x, \sin x)=R_2(\cos x, \sin^2 x) R1​(cosx,sinx)=R2​(cosx,sin2x) 根据此进行积分可得： $\int R(\cos x, \sin x) d x=\int R_1(\cos x, \sin x)\sin x d x=\int R_2(\cos x, \sin^2 x)\sin x d x=-\int R_2(\cos x, \sin^2 x) d \cos x $ 我们令 t = cos ⁡ x t=\cos x t=cosx得： ∫ R ( cos ⁡ x , sin ⁡ x ) d x = − ∫ R ( t , 1 − t 2 ) d t \int R(\cos x, \sin x) d x=-\int R(t, 1-t^2) d t ∫R(cosx,sinx)dx=−∫R(t,1−t2)dt, 这样便进行了有理化。

②此时： R ( cos ⁡ x , sin ⁡ x ) = R ( cos ⁡ x , sin ⁡ x ∗ tan ⁡ x ) = R 1 ( cos ⁡ x , tan ⁡ x ) R(\cos x, \sin x)=R(\cos x, \sin x*\tan x) =R_1(\cos x, \tan x) R(cosx,sinx)=R(cosx,sinx∗tanx)=R1​(cosx,tanx) 则由此可得： R ( − cos ⁡ x , − sin ⁡ x ) = R ( cos ⁡ x , sin ⁡ x ) = R 1 ( − cos ⁡ x , tan ⁡ x ) = R 1 ( cos ⁡ x , tan ⁡ x ) R(-\cos x,-\sin x)=R(\cos x, \sin x)=R_1(-\cos x, \tan x)=R_1(\cos x, \tan x) R(−cosx,−sinx)=R(cosx,sinx)=R1​(−cosx,tanx)=R1​(cosx,tanx) 根据上式，我们可知 cos ⁡ x \cos x cosx是以偶数次方的形式出现，因此我们令： R 1 ( cos ⁡ x , sin ⁡ x ) = R 2 ( cos ⁡ 2 x , sin ⁡ x ) R_1(\cos x, \sin x)=R_2(\cos^2 x, \sin x) R1​(cosx,sinx)=R2​(cos2x,sinx) 根据此进行积分可得： ∫ R ( cos ⁡ x , sin ⁡ x ) d x = ∫ R 1 ( cos ⁡ x , tan ⁡ x ) d x = ∫ R 2 ( cos ⁡ 2 x , sin ⁡ x ) d x \int R(\cos x, \sin x) d x=\int R_1(\cos x, \tan x) d x=\int R_2(\cos^2 x, \sin x) d x ∫R(cosx,sinx)dx=∫R1​(cosx,tanx)dx=∫R2​(cos2x,sinx)dx

= − ∫ R 2 ( 1 1 + t 2 , t ) 1 + t 2 d t =-\int \frac{R_2(\frac{1}{1+t^2}, t)}{1+t^2} d t =−∫1+t2R2​(1+t21​,t)​dt

这样便进行了有理化。