最近喜欢听加州旅馆

积分上限函数和定积分以及之前的函数积分没有什么很大的区别，只不过是多了一个积分区域而已

积分上限函数型如：

∫ a x f ( x ) d x \int_a^xf(x)d_x ∫ax​f(x)dx​

里面有一点需要注意，就是积分上限函数的求导

例题1

lim ⁡ x → 0 ∫ 0 x cos ⁡ t 2 d t x \lim_{x\to 0} \frac{\int_0^x \cos t^2 d_t}{x} limx→0​x∫0x​cost2dt​​

解：首先我们发现这个分式是0比0型，可以用洛必达定理

则原式

= lim ⁡ x → 0 cos ⁡ x 2 1 =\lim_{x\to 0} \frac{\cos x^2}{1} =limx→0​1cosx2​

= 1 =1 =1

例题2

lim ⁡ x → 0 ( ∫ 0 x e t 2 d t ) 2 ∫ 0 x t e 2 t 2 d t \lim_{x\to 0} \frac{(\int_0^x e^{t^2} d_t)^2}{\int_0^x te^{2t^2} d_t} limx→0​∫0x​te2t2dt​(∫0x​et2dt​)2​ ( 0 0 \frac{0}{0} 00​)

= lim ⁡ x → 0 2 ∗ e x 2 ∗ ∫ 0 x e t 2 d t x e 2 x 2 =\lim_{x\to 0} \frac{2*e^x{^2}*\int_0^x e^t{^2} d_t}{xe^{2x^2}} =limx→0​xe2x22∗ex2∗∫0x​et2dt​​

= lim ⁡ x → 0 2 ∗ ∫ 0 x e t 2 d t x e x 2 =\lim_{x\to 0} \frac{2*\int_0^x e^t{^2} d_t}{xe^{x^2}} =limx→0​xex22∗∫0x​et2dt​​

= lim ⁡ x → 0 2 e t 2 e x 2 + x e x 2 ∗ 2 x =\lim_{x\to 0} \frac{2e^{t^2}}{e^{x^2}+xe^{x^2}*2x} =limx→0​ex2+xex2∗2x2et2​

= 2 =2 =2

在此只记一个基本公式：

∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) \int_a^b f(x)d_x = F(b) - F(a) ∫ab​f(x)dx​=F(b)−F(a)

遵循两个技巧：

奇函数： ∫ a − a f ( x ) d x = 0 \int_a^{-a} f(x)d_x = 0 ∫a−a​f(x)dx​=0

偶函数： ∫ a − a f ( x ) d x = 2 ∫ 0 a f ( x ) d x \int_a^{-a}f(x)d_x = 2\int_0^a f(x)d_x ∫a−a​f(x)dx​=2∫0a​f(x)dx​

例题3

∫ − 2 2 x cos ⁡ x x 2 + 1 d x \int_{-2}^2 \frac{x \cos x}{x^2 + 1} d_x ∫−22​x2+1xcosx​dx​

解：

因为在（-2，2）里面x为奇函数， cos ⁡ x 、 x 2 + 1 \cos x、x^2 +1 cosx、x2+1为偶函数，三者相乘为奇函数

因此：原式 ∫ − 2 2 x cos ⁡ x x 2 + 1 d x = 0 \int_{-2}^2 \frac{x \cos x}{x^2 + 1} d_x=0 ∫−22​x2+1xcosx​dx​=0

和之前一样，分部积分遵循一项原则

∫ a b 反 对 幂 指 三 d x \int_a^b 反对幂指三 d_x ∫ab​反对幂指三dx​

越靠后放进 d x d_x dx​ 越容易化简

隆重介绍点火公式

注意这里只讨论积分区域在 ( 0 , π 2 ) (0,\frac{\pi}{2}) (0,2π​)

例题4

∫ 0 2 2 − x 2 d x \int_0^{\sqrt 2} \sqrt {2- x^2} d_x ∫02 ​​2−x2 ​dx​

解：原式

= ∫ 0 π 2 2 − 2 sin ⁡ t d 2 sin ⁡ x =\int_0^{\frac {\pi}{2}} \sqrt {2- 2 \sin t} d_{\sqrt {2\sin x}} =∫02π​​2−2sint ​d2sinx ​​

= 2 ∫ 0 π 2 cos ⁡ t 2 cos ⁡ t d t =\sqrt2\int_0^{\frac {\pi}{2}} \cos t \sqrt 2 \cos t d_t =2 ​∫02π​​cost2 ​costdt​

= 2 ∫ 0 π 2 cos ⁡ t 2 cos ⁡ t d t =\sqrt2\int_0^{\frac {\pi}{2}} \cos t \sqrt 2 \cos t d_t =2 ​∫02π​​cost2 ​costdt​

= 2 ∫ 0 π 2 cos ⁡ 2 t d t =2\int_0^{\frac {\pi}{2}} \cos ^2 t d_t =2∫02π​​cos2tdt​

点火公式

= 2 ∗ 1 2 π 2 = 2 * \frac{1}{2} \frac{\pi}{2} =2∗21​2π​

= π 2 = \frac{\pi}{2} =2π​

与原来所有的定积分的形式不同，反常积分的积分区域里面含有无穷大

形如： ∫ a ∞ f ( x ) d x \int_a^{\infty} f(x)d_x ∫a∞​f(x)dx​

解题的办法缺不难，只要把含无穷大的积分取极限计算即可

如: ∫ a ∞ f ( x ) d x = F ( x ) ∣ a ∞ = lim ⁡ x → ∞ F ( x ) − F ( a ) \int_a^{\infty} f(x)d_x = F(x) |_a^{\infty} =\lim_{x \to \infty}F(x)-F(a) ∫a∞​f(x)dx​=F(x)∣a∞​=limx→∞​F(x)−F(a)

例题5

∫ − ∞ ∞ 1 1 + x 2 d x \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} d_x ∫−∞∞​1+x21​dx​

= arctan ⁡ x ∣ − ∞ ∞ = \arctan x|_{-\infty}^{\infty} =arctanx∣−∞∞​

= lim ⁡ x → ∞ arctan ⁡ x − lim ⁡ x → − ∞ arctan ⁡ x =\lim_{x \to \infty} \arctan x -\lim_{x \to -\infty} \arctan x =limx→∞​arctanx−limx→−∞​arctanx

= π = \pi =π