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数学的一类公式，用于三角函数等价代换，可以化简式子，方便运算。基本可以从三角函数图像中推出诱导公式，也能从诱导公式中延展出其他的公式，其中包括倍角公式，和差化积，万能公式等。

中文名

三角恒等变换

外文名

Angle transformation formulae

学    科

数学

用    途

三角函数等价代换

方    法

图像中推理出诱导公式

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sin²α+cos²α=1

1+tan²α=sec²α

1+cot²α=csc²α

sinα/cosα=tanα

secα/cscα=tanα

cosα/sinα=cotα

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sin2α = 2cosαsinα

= sin²(α+π/4)-cos²(α+π/4)

= 2sin²(a+π/4)-1

= 1-2cos²(α+π/4)

cos2α = cos²α-sin²α

= 1-2sin²α

= 2cos²α-1

= 2sin(α+π/4)·cos(α+π/4)

tan2α = 2tanα/[1-(tanα)²] [1] 

sin3α = 3sinα-4sin³α

cos3α = 4cos³α-3cosα

tan3α = (3tanα-tan³α)/(1-3tan²α)

sin3α = 4sinα·sin(π/3-α)·sin(π/3+α)

cos3α = 4cosα·cos(π/3-α)·cos(π/3+α)

tan3α = tanα·tan(π/3-α)·tan(π/3+α)

根据棣莫弗定理的乘方形式 [2]  (cos θ+i·sin θ)n=cos nθ+i·sin nθ （注：sin θ前的 i 是虚数单位，即-1开方）

将左边用二项式定理展开分别整理实部和虚部可以得到下面两组公式

sin(nα) = ncos(n-1)α·sinα - C(n,3)cos(n-3)α·sin3α + C(n,5)cos(n-5)α·sin5α-…

cos(nα) = cosnα - C(n,2)cos(n-2)α·sin2α + C(n,4)cos(n-4)α·sin4α

Asinα+Bcosα = √(A2+B2)sin[α+arctan(B/A)]

Asinα+Bcosα = √(A2+B2)cos[α-arctan(A/B)]

sin(α/2) = ±√[(1-cosα)/2]

cos(α/2) = ±√[(1+cosα)/2]

tan(α/2) = ±√[(1-cosα)/(1+cosα)]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=cscα-cotα

cot(α/2) = ±√[(1+cosα)/(1-cosα)]=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)=cscα+cotα

sec(α/2) = ±√[(2secα/(secα+1)]

csc(α/2) = ±√[(2secα/(secα-1)]

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sin（2kπ+α）=sinα

cos（2kπ+α）=cosα

tan（kπ+α）=tanα

cot（kπ+α）=cotα

sec（2kπ+α）=secα

csc（2kπ+α）=cscα

sin（π+α）=－sinα

cos（π+α）=－cosα

tan（π+α）=tanα

cot（π+α）=cotα

sec(π+α)=-secα

csc(π+α)=-cscα

sin（－α）=－sinα

cos（－α）=cosα

tan（－α）=－tanα

cot（－α）=－cotα

sec(-α)=secα

csc(-α)=-cscα

sin（π－α）=sinα

cos（π－α）=-cosα

tan（π－α）=－tanα

cot（π－α）=－cotα

sec(π-α)=-secα

csc(π-α)=cscα

sin（π/2+α）=cosα

cos（π/2+α）=－sinα

tan（π/2+α）=－cotα

cot（π/2+α）=－tanα

sec(π/2+α)=-cscα

csc(π/2+α)=secα

sin（π/2－α）=cosα

cos（π/2－α）=sinα

tan（π/2－α）=cotα

cot（π/2－α）=tanα

sec(π/2-α)=cscα

csc(π/2-α)=secα

sin（3π/2+α）=－cosα

cos（3π/2+α）=sinα

tan（3π/2+α）=－cotα

cot（3π/2+α）=－tanα

sec(3π/2+α)=cscα

csc(3π/2+α)=-secα

sin（3π/2－α）=－cosα

cos（3π/2－α）=－sinα

tan（3π/2－α）=cotα

cot（3π/2－α）=tanα

sec(3π/2-α)=-cscα

csc(3π/2-α)=-secα

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tan(a+π/4）=(tan a+1）/（1-tan a)

tan(a-π/4）=(tan a-1）/（1+tan a)

asinx+bcosx=[√（a²+b²）]{[a/√（a²+b²）]sinx+[b/√（a²+b²）]cosx}=[√（a²+b²）]sin(x+y)【辅助角公式，其中tan y=b/a，或者说siny=b/[√（a²+b²）],cosy=a/[√（a²+b²）]】

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半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

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sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]

cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]

cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]

sinα·sinβ= -（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]（注：留意最前面是负号）

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设A，B，C是三角形的三个内角

sinA+sinB+sinC=4cos（A/2）cos（B/2）cos（C/2）

cosA+cosB+cosC=1+4sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

cot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot（C/2）

tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1

cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1

(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1

sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC

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首先，在三角形ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c若A,B均为锐角，则在三角形ABC中，过C作AB边垂线交AB于D 由CD=asinB=bsinA（做另两边的垂线，同理）可证明正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC于是有：AD+BD=c AD=bcosA,BD=acosB AD+BD=c代入正弦定理，可得sinC=sin（180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA 即在A,B均为锐角的情况下，可证明正弦和的公式。利用正弦和余弦的定义及周期性，可证明该公式对任意角成立。于是有 cos(A+B)=sin（90-A-B)=sin（90-A)cos(-B)+cos（90-A)sin（-B）=cosAcosB-sinAsinB

由此求得以上全部公式