单摆的动力学建模以及matlab仿真（牛顿法和拉格朗日方程法） |
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单摆的动力学建模以及matlab仿真（牛顿法和拉格朗日方程法）
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建模
牛顿法
有空再写 拉格朗日方程法首先我们先确定广义坐标，并同时计算出来摆杆的转动惯量
接着列拉格朗日方程
计算动能（转动动能）
计算势能（取铰链处为零势能高度）：
计算L
计算拉格朗日方程中的中间量
将上述的中间量带入拉格朗日方程，得到动力学模型：
变换一下形式：
我们可以假设角度比较小，因为控制一般都是在平衡点附近。 这时， 经常情况下角度没有那么小，这个时候我们就不能假设 所以这个时候我们这样操作，将这个二阶微分方程转化成一阶微分方程组，这样就可以用matlab的ode45微分方程求解器求取数值解，求得的数值解即为系统状态 y。然后得到系统状态之后，控制器基于当前状态计算输入，再施加给执行器进行控制。
我们先把微分方程求解器做出来： 直接把g=9.8，l=1和u=0带入式子； [t,y] = ode45(@odeBai,[0 10],[1;0]); plot(t,y(:,1),'-o',t,y(:,2),'-o'); function dy = odeBai(t,y) dy = zeros(2,1); dy(1) = y(2); dy(2) = -3 * 9.8 / ( 2 * 1 )*sin(y(1))+0; end从图片也可能看出规律：
这下，我们就求出来了位置（角度）时间曲线和速度（角速度）时间曲线。 然后，我们做一个控制器，把输入加上去。 控制器代码：
总程序代码： clear all; clc; [t,y] = ode45(@odeBai,[0 10],[1;0]); plot(t,y(:,1),'-o',t,y(:,2),'-o'); function dy = odeBai(t,y) dy = zeros(2,1); tau = PIDController(t,y); dy(1) = y(2); dy(2) = -3 * 9.8 / ( 2 * 1 )*sin(y(1)) + 3 * tau /(1*1*1); end function tau=PIDController(t,y) % 目标状态 y1_desire = pi/4; y2_desire = 0; % 控制增益 Kp = 1000; Kd = 500; % 控制力矩 tau = Kp*(y1_desire-y(1))+Kd*(y2_desire-y(2)); end仿真图像如下：可以弹道蓝线逐渐逼近pi/4即45度的位置，而橙线从较大的值趋于0，即速度最终为0.
代码： clear all; clc; global m l g m = 1; l = 1; g = 9.8; [t,y] = ode45(@odeBai,[0 10],[-1;0]); figure(1); plot(t,y(:,1),'-o',t,y(:,2),'-o'); figure(2); x0=0; y0=0; v = VideoWriter('Pen.avi'); open(v); for k=1:200:size(t) x1=l*cos(y(k,1)); y1=l*sin(y(k,1)); link1_x=[0,x1]; link1_y=[0,y1]; line(link1_x,link1_y,'linewidth',2,'color','b') axis equal axis([-1.55 1.55 -1.55 0.55]) grid on; hold on; plot(x0,y0,'o','linewidth',2,'color','r'); frame = getframe(gcf); writeVideo(v,frame); clf; end close(v); function dy = odeBai(t,y) dy = zeros(2,1); tau = PIDController(t,y); dy(1) = y(2); dy(2) = -3 * 9.8 / ( 2 * 1 )*sin(y(1)) + 3 * tau /(1*1*1); end function tau=PIDController(t,y) % 目标状态 y1_desire = -pi/4; y2_desire = 0; % 控制增益 Kp = 1000; Kd = 500; % 控制力矩 tau = Kp*(y1_desire-y(1))+Kd*(y2_desire-y(2)); end 参考链接1.matlab动力学建模与simscape验证(代码) - 哔哩哔哩 |
然后得出下面的状态空间方程。
，所以就得到非线性的控制系统。
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