1、Sigmoid

-- 函数公式：

公式中，z是单个原始输出值，如原始输出值为[-0.5，0.3， 1.5， -2.0]，则z1=-0.5，z2=0.3，z3=1.5，z4=-2.0；

sigmoid函数连续，光滑，严格单调，以(0,0.5)中心对称，是一个非常良好的阈值函数。sigmoid函数把一个实数压缩到(0,1)，当z无穷大时，函数值趋于1，反之趋于0；我们知道(0,1)与概率值的范围是相对应的，这样sigmoid函数就能与一个概率分布联系起来了。

我们经常说的logistic函数，就是sigmoid函数，表征的是类别概率。

-- sigmoid的应用：

神经网络分类问题中，在输出层中，我们可以应用sigmoid函数。例如原始输出值为[-0.5, 1.2, 0.1, 2.4]，经过sigmoid函数后，输出为概率值[0.37, 0.77, 0.48, 0.91]，如下图：

（蓝色框内输出的是原始输出值，红色框为sigmoid计算出的概率值）

我们发现概率值总和不为1，即 0.37+0.77+0.48+0.91≠1，是因为Sigmoid 在解决多标签分类问题，Sigmoid分别处理每一个原始输出值，其结果相互独立，允许多种可能性并存，概率总和不一定为1。如果模型原始输出值为非互斥类别，且可以同时选择多个类别，则采用Sigmoid函数计算该网络的原始输出值。

-- sigmoid的不足

sigmoid具有明显的饱和性，其两侧导数趋近于0，在反向传播的过程中，sigmoid的梯度会包含一个

f '(x)因子，在两端的饱和区内，f '(x)会趋于0，导致反向传播的梯度边的非常小，甚至不更新，也是常说的梯度消失。一般来说， sigmoid 网络在 5 层之内就会产生梯度消失现象。

sigmoid函数的输出均大于0，使得输出不是0均值，这称为偏移现象，这会导致后一层的神经元将得到上一层输出的非0均值的信号作为输入。

2、Softmax

-- 函数公式：

分子是某个原始输出值的e^zi，分母是1到k的所有原始输出值的e^zj，也就是说，softmax将所有原始输出值映射到(0,1)之间的值，且所有输出的映射总和就是1；

-- softmax应用

神经网络分类问题中，在输出层中，我们可以应用sigmoid函数。例如原始输出值为[-0.5, 1.2, 0.1, 2.4]，经过softmax函数后，输出为概率值[0.04, 0.21, 0.05, 0.70]，如下图：

（蓝色框内输出的是原始输出值，红色框为softmax计算出的概率值）

我们发现概率值总和为1，即 0.04+0.21+0.05+0.70=1，符合概率模的性质，我们将映射输出的结果理解为概率值，最后选出概率最大的值所在节点作为分类的label输出。所以如果模型输出为互斥类别，且只能选择一个类别，则采用Softmax函数计算该网络的原始输出值。

Softmax函数的输出值相互关联，其概率的总和始终为1。因此，为了增大某一类别的概率，其他类别的概率必须相应减少。

如果预测的是多类别分类问题，且只有一个正确答案，那么就选用softmax函数处理原始输出值。

-- softmax的不足

softmax对样本类别覆盖较全的数据，可以按照分类个数进行划分，保证类别可分，即保证可分性；但是Softmax并不要求类内紧凑和类间分离，这一点非常不适合人脸识别任务，因为相对全世界70亿人口，我们的训练样本微不足道。

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