σ-代数、可测集和可测空间
是样本空间, 是样本空间 的幂集的非空子集,如果 满足下列条件:
若 ,则 若 ,则
则称 是 上的σ-代数, 中的元素(一个集合)是可测集,并称 是一个可测空间。
解释
是一个集合,其中的每个成员都是集合,即 是集合的集合。若 是σ-代数,则 中的每个集合都是可测集。
测度和测度空间
在 是一个可测空间的基础上,令 且满足:
(非负性)对任意的 ,有 ;(规范性) ;(可列可加性)对任意的两两不相交的集合 ,有 ;
则称 为可测空间 上的测度(measure),且称 为测度空间(measure space)。
解释
在可测空间的基础上,引入一个函数,并要求满足三个条件:非负性、规范性、可列可加性,最终得到了测度空间。
概率空间
特别地,当 的时候,称 为概率测度,记为 ,并称 为概率测度空间,简称概率空间(probability space)。此时,称 中的可测集 为事件。如果 中只有一个元素,称其为基本事件;如果 中包含多个元素,称其为复合事件。 的测度 成为事件A发生的概率。
解释
概率空间是测度空间的一个特例,除此之外,还有距离空间、拓扑空间、序空间、代数空间等,这些空间都是基于测度空间引入的。
随机变量
为概率测度空间,对于任意实数x,都有 {w∈Ω: X(ω)≤x} ∈F,则称X(w)为随机变量,其中w是基本事件。
解释
随机变量是一个函数,将一个基本事件(集合中只有一个元素)映射到实轴 上的一个点——实数,本质上是一种数量化的过程。 中的概率P不会随着可测空间的映射( )而发生改变,因此,随机变量的概率仍是P。由于随机变量处理的对象是基本事件,对于复合事件的处理,需要引入另一个概念——概率分布函数。
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概率分布函数
对于离散概率分布函数,随机变量 的取值为 ,其中 是样本空间中的元素——基本事件,可以简写为,随机变量 的取值为 ,并且概率分别为 ,则定义分布函数为 。
解释
可以看出,概率分布函数将所有的基本事件集中起来,可以描述复合事件的概率,最大值是1——必然事件。
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