$\mathrm{sech}\:x=\dfrac{1}{\cosh x}=\dfrac{2}{e^x+e^{-x}}$

$\mathrm{csch}\:x=\dfrac{1}{\sinh x}=\dfrac{2}{e^x-e^{-x}}$

$\mathrm{coth}\:x=\dfrac{1}{\tanh x}=\dfrac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$

目次

$\mathrm{sech}\:x$：ハイパボリックセカント

$\mathrm{csch}\:x$：ハイパボリックコセカント、$\mathrm{cosech}\:x$ と書くこともあります。

$\mathrm{coth}\:x$：ハイパボリックコタンジェント

分数関数の微分（商の微分公式）を使って計算していきましょう。

$(\mathrm{sech}\:x)’\\ =-\dfrac{2(e^x+e^{-x})’}{(e^x+e^{-x})^2}\\ =-\dfrac{2(e^x-e^{-x})}{(e^x+e^{-x})^2}$ $=-\tanh x\:\mathrm{sech}\:x$

$(\mathrm{csch}\:x)’\\ =-\dfrac{2(e^x-e^{-x})’}{(e^x-e^{-x})^2}\\ =-\dfrac{2(e^x+e^{-x})}{(e^x-e^{-x})^2}$ $=-\mathrm{coth}\:x\:\mathrm{csch}\:x$

$(\mathrm{coth}\:x)’\\ =\dfrac{(e^x-e^{-x})^2-(e^x+e^{-x})^2}{(e^x-e^{-x})^2}\\ =\dfrac{-4}{(e^x-e^{-x})^2}$ $=-\mathrm{csch}^2\:x$

前提知識：arctanの意味

$\displaystyle\int\mathrm{sech}\:xdx\\ =\displaystyle\int\dfrac{2}{e^x+e^{-x}}dx\\ =\displaystyle\int\dfrac{2e^x}{e^{2x}+1}dx$

$e^x=t$ と置換します、$\dfrac{dt}{dx}=e^x=t$ より、 $\displaystyle\int\dfrac{2t}{t^2+1}\cdot\dfrac{1}{t}dt\\ =\displaystyle\int\dfrac{2}{t^2+1}dt$

さらに、$t=\tan u$ と置換します、$\dfrac{dt}{du}=\dfrac{1}{\cos^2u}=1+t^2$ より、 $\displaystyle\int 2du\\ =2u+C\\ =2\mathrm{arctan}\:t+C$ $=2\mathrm{arctan}\:(e^x)+C$

$\displaystyle\int\mathrm{csch}\:xdx\\ =\displaystyle\int\dfrac{2}{e^x-e^{-x}}dx\\ =\displaystyle\int\dfrac{2e^x}{e^{2x}-1}dx$

$e^x=t$ と置換します、$\dfrac{dt}{dx}=e^x=t$ より、： $\displaystyle\int\dfrac{2t}{t^2-1}\cdot\dfrac{1}{t}dt\\ =\displaystyle\int\dfrac{1}{t-1}dt-\displaystyle\int\dfrac{1}{t+1}dt\\ =\log|t-1|-\log|t+1|+C$ $=\log\left|\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\right|+C$ （さらに変形して $\log(\tanh \frac{x}{2})+C$ としてもよいです）

$\displaystyle\int\mathrm{coth}\:xdx\\ =\displaystyle\int\dfrac{(e^x-e^{-x})’}{e^x-e^{-x}}dx$ $=\log|e^x-e^{-x}|+C$ （$\log|\sinh x|+C$ としてもよいです）

次回は cosec x（=1/sin x）の微分と積分の公式 を解説します。