这3个条件的来由我们不讨论，我们只知道做这样的假设是基于“设计”的选择，而非必然。

我们以泊松回归为例, y服从泊松分布 ，化为指数族形式，我们可以得到。所以

之后即为最大似然法的过程。

本教程中使用的数据是教育数据。

该数据来源于全国性的小学教育调查。数据中的每一行都是指一个学生。结果变量留级是一个二分变量，表示一个学生在小学教育期间是否留过级。学校变量表示一个学生所在的学校。个人层面的预测因素包括。 性别（0=女性，1=男性）和学前教育（受过学前教育，0=没有，1=有）。学校层面是学校平均SES（社会经济地位）得分。

本教程利用教育数据试图回答的主要研究问题是。

忽略数据的结构，性别和学前教育对学生是否留级的影响是什么？

忽略数据的结构，学校平均SES对学生留级比例的影响是什么？

考虑到数据的结构，性别、学前教育和学校平均SES对学生是否留级有什么影响？

这三个问题分别用以下这些模型来回答：二元逻辑回归；二项逻辑回归；多层次二元逻辑回归。

加载必要的软件包

# 如果你还没有安装这些包，请使用install.packages("package_name")命令。

library(lme4) # 用于多层次模型

library(tidyverse) # 用于数据处理和绘图

导入数据

head(Edu)

数据处理

mutate(学校 = factor(学校),

性别 = if_else(性别 == 0, "girl", "boy"),

性别 = factor(性别, levels = c("girl", "boy")),

受过学前教育 = if_else(受过学前教育 == 0, "no", "yes"),

受过学前教育 = factor(受过学前教育, levels = c("no", "yes")))

检查缺失的数据

summarise_each((~sum(is.na(.))

数据中，经济地位变量有1066个观测值缺失。对缺失数据的处理本身就是一个复杂的话题。为了方便起见，我们在本教程中简单地将数据缺失的案例删除。

探索数据：按性别和学前教育分类的留级数量

group_by(性别) %>%

summarise(是否留过级 = sum(是否留过级))

看来，留级的学生人数在男女之间有很大的不同，更多的男学生留级。更多没有接受过学前教育的学生留级。这一观察结果表明，性别和学前教育可能对留级有预测作用。

R默认安装了基础包，其中包括运行GLM的glm函数。glm的参数与lm的参数相似：公式和数据。然而，glm需要一个额外的参数：family，它指定了结果变量的假设分布；在family中我们还需要指定链接函数。family的默认值是gaussian(link = "identity")，这导致了一个线性模型，相当于由lm指定的模型。在二元逻辑回归的情况下，glm要求我们指定一个带有logit链接的二项分布，即family = binomial(link = "logit") 。

glm(formula ,

family = binomial(link = "logit"))

从上面的总结输出中，我们可以看到，性别对学生留级的概率有正向和显著的预测，而学前教育则有负向和显著的预测。具体来说，与女孩相比，男孩更有可能留级。以前上过学的学生不太可能导致留级。

为了解释参数估计值，我们需要对估计值进行指数化处理。

请注意，参数估计的解释与几率而不是概率有关。赔率的定义是。P（事件发生）/P（事件未发生）。在本分析中，假设其他一切保持不变，与女孩相比，男孩增加了54%的留级几率；与没有学前教育相比，假设其他一切保持不变，拥有学前教育降低了（1-0.54）%=46%的留级几率。

为了使参数效应的解释更加容易，我们可以对参数效应可视化。

plot(Effects)

请注意，在这两张图中，Y刻度指的是留级的概率，而不是几率。概率比几率更容易解释。每个变量的概率分数是通过假设模型中的其他变量是常数并采取其平均值来计算的。正如我们所看到的，假设一个学生有平均的学前教育，作为一个男孩比作为一个女孩有更高的留级概率（~0.16）~0.11）。同样，假设一个学生有一个平均的性别，有学前教育的学生比没有学前教育的学生留级的概率低（~0.11）（~0.18）。请注意，在这两幅图中，还包括了估计值的置信区间，以使我们对估计值的不确定性有一些了解。

请注意，平均学前教育和性别的概念可能听起来很奇怪，因为它们是分类变量（即因素）。如果你对假设一个平均因素的想法感到奇怪，你可以指定你的预期因素水平作为参考点。

predictors = list( values=c(性别boy=0, 受过学前教育yes = 0))

设置性别boy = 0意味着在学前教育效应图中，性别变量的参考水平被设置为0；学前教育yes = 0导致0成为性别效应图中学前教育变量的参考水平。

因此，正如上面两幅图所示，假设学生没有接受过学前教育，作为男孩的留级概率（~0.20）比作为女孩的留级概率（~0.14）要高；假设学生是女性，有学前教育的留级概率（~0.09）比没有学前教育的留级概率（~0.15）要低。

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评价逻辑回归模型的拟合度有不同的方法。

似然比检验

如果一个逻辑回归模型与预测因子较少的模型相比，显示出拟合度的提高，则该模型对数据有较好的拟合度。这是用似然比检验进行的，它将完整模型下数据的似然性与较少预测因素的模型下数据的似然性进行比较。从一个模型中删除预测变量几乎总是会使模型的拟合度降低（即模型的对数似然率较低），但测试观察到的模型拟合度差异是否具有统计学意义是很有用的。

#指定一个只有`性别'变量的模型

#使用`anova()`函数来运行似然比测试

anova(ModelTest, Model, test ="Chisq")

我们可以看到，同时包含性别和学前教育的预测因子的模型比只包含性别变量的模型对数据的拟合效果要好得多。请注意，这种方法也可以用来确定是否有必要包括一个或一组变量。

AIC

Akaike信息准则（AIC）是另一个模型选择的衡量标准。与似然比检验不同，AIC的计算不仅要考虑模型的拟合度，还要考虑模型的简单性。通过这种方式，AIC处理了模型的拟合度和复杂性之间的权衡，因此，不鼓励过度拟合。较小的AIC是首选。

在AIC值较小的情况下，同时具有性别和学前教育预测因子的模型优于只具有性别预测因子的模型。

正确分类率

正确分类率是另一个有用的衡量标准，可以看出模型对数据的合适程度。

#使用`predict()`函数，从拟合的模型中计算出原始数据中学生的预测概率

Pred 0.5, 1, 0)

ConfusionMatrix %

group_by(学校) %>%

mutate(性别 = 性别 - mean(性别),

学前教育和留级之间的关系在不同的学校也显得相当不同。然而，我们也可以看到，大多数的关系都呈下降趋势，从0（以前没有上过学）到1（以前上过学），表明学前教育和留级之间的关系为负。

由于上述观察结果，我们可以得出结论，在目前的数据中需要建立多层次的模型，不仅要有随机截距（学校），还可能要有性别和学前教育的随机斜率。

在拟合多层次模型之前，有必要采用适当的中心化方法（即均值中心化）对预测变量进行中心化，因为中心化方法对模型估计的解释很重要。根据Enders和Tofighi（2007）的建议，我们应该对第一层次的预测因子性别和学前教育使用中心化，对第二层次的预测因子学校平均社会经济地位使用均值中心化。

受过学前教育 = if_else(受过学前教育 == "yes", 1, 0)) %>%

group_by(学校) %>%

mutate(性别 = 性别 - mean(性别),

受过学前教育 = 受过学前教育 - mean(受过学前教育)) %>%

ungroup() %>%

只有截距模型

为了指定一个多层次模型，我们使用lme4软件包。随机斜率项和聚类项应该用|分隔。注意，我们使用了一个额外的参数指定比默认值（10000）更大的最大迭代次数。因为一个多层次模型可能需要大量的迭代来收敛。

我们首先指定一个纯截距模型，以评估数据聚类结构的影响。

glmer(是否留过级 ~ 1 + (1|学校),

optCtrl = list(maxfun=2e5))

下面我们计算一下纯截距模型的ICC（类内相关）。

0.33的ICC意味着结果变量的33%的变化可以被数据的聚类结构所解释。这提供了证据表明，与非多层次模型相比，多层次模型可能会对模型的估计产生影响。因此，多层次模型的使用是必要的，也是有保证的。

按部就班地建立一个多层次模型是很好的做法。然而，由于本文的重点不是多层次模型，我们直接从纯截距模型到我们最终感兴趣的全模型。在完整模型中，我们不仅包括性别、学前教育和学校平均社会经济地位的固定效应项和一个随机截距项，还包括性别和学前教育的随机斜率项。请注意，我们指定 family = binomial(link = "logit")，因为这个模型本质上是一个二元逻辑回归模型。

glmer(是否留过级 ~ 性别 + 受过学前教育 + 学校平均社会经济地位 + (1 + 性别 + 受过学前教育|学校)

结果（与固定效应有关）与之前二元逻辑回归和二项逻辑回归模型的结果相似。在学生层面上，性别对学生留级的几率有显著的正向影响，而学前教育有显著的负向影响。在学校层面上，学校地位对结果变量有显著的负向影响。我们也来看看随机效应项的方差。

同样，我们可以使用summ()函数来检索指数化的系数估计值，便于解释。

sum(Model_Full)

我们还可以显示参数估计的效果。请注意，由于第一级分类变量（性别和学前教育）是中心化的，因此在模型中它们被当作连续变量，在下面的效果图中也是如此。

plot((Model)

除了固定效应项之外，我们也来看看随机效应项。从之前的ICC值来看，我们知道有必要包括一个随机截距。但是，包括性别和学前教育的随机斜率的必要性就不太清楚了。为了弄清楚这一点，我们可以用似然比检验和AIC来判断随机斜率的加入是否能改善模型的拟合。

glmer(是否留过级 ~ 性别 + 受过学前教育 + 学校平均社会经济地位 + (1 + 受过学前教育|学校),

#拟合一个不完整的模型，剔除`受过学前教育'的随机斜率项

glmer(是否留过级 ~ 性别 + 受过学前教育 + 学校平均社会经济地位 + (1 + 性别|学校),

似然比检验

比较完整的模型和排除了`性别'的模型

将完整的模型与排除了 "受过学前教育 "的模型进行比较

从所有不显著的似然比检验结果（Pr（>Chisq）>0.05），我们可以得出结论，增加任何随机斜率项对模型拟合都没有明显的改善。

AIC

AIC #full模型

AIC#＃没有性别的模型

AIC #＃没有受过学前教育的模型

AIC#＃没有随机斜率的模型

从AIC的结果来看，我们发现包括随机斜率项要么没有大幅提高AIC（用较低的AIC值表示），要么导致更差的AIC（即更高）。因此，我们也得出结论，没有必要包括随机效应项。

到目前为止，我们已经介绍了二元和二项逻辑回归，这两种回归都来自于二项家族的logit链接。然而，还有许多分布族和链接函数，我们可以在glm分析中使用。例如，为了对二元结果进行建模，我们还可以使用probit链接或log-log（cloglog）来代替logit链接。为了给计数数据建模，我们也可以使用泊松回归，它假设结果变量来自泊松分布，并使用对数作为链接函数。

参考文献

Bates, D., Maechler, M., Bolker, B., & Walker, S. (2015). Fitting Linear Mixed-Effects Models Using lme4. Journal of Statistical Software, 67(1), 1-48. doi:10.18637/jss.v067.i01

Enders, C. K., & Tofighi, D. (2007). Centering predictor variables in cross-sectional multilevel models: A new look at an old issue. Psychological Methods, 12(2), 121-138. doi:10.1037/1082-989X.12.2.121

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本文选自《R语言用lme4多层次（混合效应）广义线性模型（GLM），逻辑回归分析教育留级调查数据》。

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