【三平方の定理】覚えておきたい基本公式を解説! |
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今回は『三平方の定理』という単元を 基礎から解説していきます。
三平方の定理は、いつ習う? 学校によって多少の違いはありますが 大体は3年生の3学期に学習します。
中3の終盤に学習するにも関わらず 入試にはバンバンと出題されてきます。
入試に出てきたけど 習ったばかりで理解が浅かった… と、ならないように 早めに学習して理解を深めておきましょうね。
では、三平方の定理の基本公式 解説していくよ~! Contents三平方の定理とは演習問題で理解を深める!特別な直角三角形演習問題で理解を深める!三平方の定理 基本公式まとめ三平方の定理とは
三平方の定理とは、直角三角形において 斜辺の長さの2乗は、他の辺の長さの2乗の和に等しくなる。 というものです。
文章だけでは、難しく見えますが 非常に単純な定理です。 このように 斜辺の2乗の数と 他の辺を2乗して足した数が等しくなるのです。 直角三角形であれば、必ずこうなります。
では、この定理を使うと どんな場面で役に立つかというと このように 直角三角形の2辺の長さがわかっていて 残り1辺の長さを求めたいときに本領を発揮します。 三平方の定理に当てはめてみると このような関係の式が作れます。 あとは、この方程式を解いていきましょう。 $$x^2=9^2+12^2$$ $$x^2=81+144$$ $$x^2=225$$ $$x=\pm 15$$ \(x>0\)なので (長さを求めてるんだからマイナスはありえないよね) $$x=15$$
このようにxの長さは15㎝だと求めることができました! めちゃめちゃ便利な公式だよね 長さを調べるのに、ものさしがいらないなんて!
それでは、三平方の定理に慣れるために いくつかの練習問題に挑戦してみましょう。 演習問題で理解を深める!次の図のxの値を求めなさい。 (1)答えはこちら三平方の定理に当てはめてみると あとは計算あるのみ $$x^2=6^2+8^2$$ $$x^2=36+64$$ $$x^2=100$$ $$x=\pm 10$$ \(x>0\)なので $$x=10$$
(1)答え $$10cm$$ (2)答えはこちら こちらも三平方の定理に当てはめていくのですが 斜辺の場所に、ちょっと注意です。 斜辺は直角の向かいにある辺のことだからね! 斜辺は斜めになっている辺…と覚えてしまうと ワケがわからなくなってしまうから気を付けてね。
では、あとは方程式を解いていきましょう。 $$9^2=x^2+7^2$$ $$81=x^2=49$$ $$x^2=81-49$$ $$x^2=32$$ $$x=\pm \sqrt{ 32 }$$ $$x=\pm 4\sqrt{2}$$ \(x>0\)なので $$x=4\sqrt{2}$$
(2)答え $$x=4\sqrt{2}$$ 特別な直角三角形
では、三平方の定理はもうバッチリかな? この単元では、直角三角形がメインとして扱われているんだけど そんな直角三角形の中でも 特別な存在として君臨するものがあります。 それがコイツら! 三角定規として使ってきた三角形ですね。 なぜコイツらが特別扱いをされているかというと このような辺の長さの比になることがわかっているんですね。
辺の長さの比がわかるということは このように1辺だけでも長さが分かれば 比をとってやることで 残り2辺の長さを求めることができます。
もちろん \(1:1:\sqrt{2}\)や\(1:2:\sqrt{3}\)という比は覚えておく必要があるからね。 しっかりと覚えておこう!
では、特別な直角三角形において 比を使いながら辺の長さを求める練習をしていきましょう。 演習問題で理解を深める! 次の図のxの値を求めなさい。 (1)答えはこちら45°、45°、90°の直角三角形の比は \(1:1:\sqrt{2}\)でしたね。 辺の比を利用して式を作って計算していきます。 $$\sqrt{2}:1=4:x$$ $$\sqrt{2}x=4$$ $$x=\frac{4}{\sqrt{2}}$$ $$x=\frac{4\sqrt{2}}{2}$$ $$x=2\sqrt{2}$$
(1)答え $$x=2\sqrt{2} cm$$ (2)答えはこちら 30°、60°、90°の直角三角形の比は \(1:2:\sqrt{3}\)でしたね。 辺の比を利用して式を作って計算していきます。 $$\sqrt{3}:2=x:8$$ $$2x=8\sqrt{3}$$ $$x=4\sqrt{3}$$
(2)答え $$x=4\sqrt{3} cm$$ 三平方の定理 基本公式まとめ お疲れ様でした! これで三平方の定理の基本はバッチリです。
三平方の定理とは 直角三角形の長さを求めることができる便利な定理です。
そして、直角三角形の中には 特別な存在の三角形があります。 これらの直角三角形では、辺の比を利用して長さを求めることができます。
さぁ、三平方の定理はここからがスタートです! 新たな問題がどんどんと出てくるので いろんな状況での利用の仕方を学んでいきましょう! ファイトだー(/・ω・)/ こちらの記事も合わせてどうぞ! 初めに覚えておきたい三平方の基本公式!←今回の記事 三平方の定理の逆ってなに?どうやって証明するの? 円錐の高さが??体積を求める問題を解説! 高さがわからない二等辺三角形の面積の求め方! 方程式を利用する発展問題を解説! 鈍角?鋭角三角形?三平方の定理を使って見分ける方法を解説!
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