- 1 - 

勒让德多项式递推关系

勒让德多项式递推关系是数学家克劳德勒让德

（

Claude-Franois-DiendeFermat

）发现的一种深奥的公式，在计算

机科学和其他数学领域中经常被使用。

该公式定义了一种用于计算多

项式表达式值的简单方法，

主要是利用多项式值的递归依赖关系，

这

种关系可以把给定多项式表达式分解成更简单的子表达式，

使得求解

多项式表达式可以缩小规模，找到更快捷的求解方式。

勒让德多项式递推关系的公式可以总结为：

P

（

n

）

=a_1* 

P

（

n-1

）

+a_2* P

（

n-2

）

+

…

+a_k* P

（

n-k

）

，其中

P

（

n

）表示长度为

n

的多

项式表达式值，

a_1

，

a_2

，…，

a_k

是多项式系数，

k

表示多项式的

类别，即多项式有

k

项。

例如，

关于长度为

4

的多项式表达式的勒让德多项式递推关系可

以表示如下：

P

（

4

）

=a_1*P

（

3

）

+a_2*P

（

2

）

+a_3*P

（

1

）

，此公式表

明，

使用这种递推关系，

将一个复杂的多项式表达式分解成简单的子

表达式。

勒让德多项式递推关系在实际计算中有重要应用。

例如，

在向量

空间理论中，

需要计算不同长度表示式的多项式余弦值矩阵，

其计算

公式可以表示为：

P

（

n

）

=2* Cos

（

n* theta/n

）

，公式中

P

（

n

）表

示长度为

n

的多项式表达式的值，

theta

表示多项式的类别，即多项

式有

theta

项。此时，若要计算长度为

n

的多项式表达式的值，可以

使用勒让德多项式递推公式，

即

P

（

n

）

=2* 

Cos

（

n* 

theta/n

）

-P

（

n-1

）

，

这样一来，可以把原本复杂的计算过程简化，从而提高效率。