对于最小割的进一步理解 |
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以前只知道最小割就是最大流...网络流背个模板,没了 根本没有深入理解,最近写了一些题才知道自己很 $naive$ 废话不多说,开始正题(假设大家都会网络流的代码,并且知道网络流在做什么) 首先最小割就是最大流(废话) 一条图的最小割中,一定有一些边,它们是满流的(如果不满流就不是最大流了) 不妨把这些边称作割边,显然,这些割边把图分成两个部分,一个与源点 $S$ 在同一个部分,一个与汇点 $T$在同一个部分 放图理解: 首先原图长这样: 然后一种最小割长这样(红色的是满流的边): 我们把与 $S$ 在同一个部分的点集叫作 $S$割,与 $T$ 在同一个部分的点集叫作 $T$割 那么 $S$割 包括点 ${1,2,4}$, $T$割 包括点 ${3,5,6,7}$ 注意满流边不一定是割边,比如这个图:
割边可以是 $(S,1)$ 或者是 $(1,2)$ ,显然对于这种有多解的最小割随便一种都合法 如果把边看成 $(u,v,cost)$(从 $u$ 到 $v$,花费(流量)是 $cost$ ),考虑最小割的实际意义 就是把点集分成 $S$割 和 $T$割 的最小花费 (请先好好理解以上理论再看下去$qwq$)
接下来考虑最小割模型中的三种边: 1. $(S,u,cost)$,意思是 如果 $u$ 在 $T$割(此边满流),那么要产生 $cost$ 的代价 2. $(u,T,cost)$,意思是 如果 $u$ 在 $S$割(此边满流),那么要产生 $cost$ 的代价 再进一步考虑一条边 $(u,v,cost)$ 的实际意义:如果把 $u$ 给 $S$割, $v$ 给 $T$割(此边满流),那么会产生 $cost$ 的代价 扩展一下,对于一条边 $(u,v,cost)$ ,如果 $cost$ 是正无穷 那么这个边的意思是什么? 光速回答,$u$ 和 $v$ 不能在同一个割集! 好像很有道理,因为这个边不可能满流,所以 $u$,$v$ 必须在同一个割集里 但是注意,边是有向边,从 $u$ 到 $v$!如果 $u$ 在 $T$割,$v$ 在 $S$割 也是合法的 所以这条边的真正意思是 ,如果 $u$ 在 $S$割,那么 $v$必须在 $S$割 (休息一下,一定要真正理解边的意义$qwq$)
更近一步,对于一种题型:有 $n$ 个点,每个点有一个价值 $val$ (可能为负),点之间有一些限制关系 $(x,y)$(选了点 $x$ 必须选点 $y$),并且保证对于任意限制 $(x,y)$, $val[x]>0,val[y] |
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