​ 在matlab中，我们可以求解常微分方程的解析解，和数值解，一般使用dsolve来求解常微分方程的解析解，使用类似于ode45的求解器来求解常微分方程的数值解。

求解解析解，例如求解该方程的解析解 d y d x = 3 x 2 + 1 \frac{dy}{dx}=3x^2 + 1 dxdy​=3x2+1 只需要在命令行中输入

或者是加上初始条件，求该方程在该初始条件下的解 d y d x = 3 x 2 , y ∣ x = 0 = 2 \frac{dy}{dx}=3x^2, y|_{x=0}=2 dxdy​=3x2,y∣x=0​=2 在命令行输入

例如求一个常微分方程组 { x ˙ = y , y ¨ − y ˙ = 0 , x ∣ t = 0 = 1 ; y ˙ ∣ t = 0 = 1 \left\{ \begin{array}{lr} \dot{x}=y, \\ \ddot{y}-\dot{y}=0, \quad x|_{t=0}=1; \dot{y}|_{t=0}=1 \end{array} \right. {x˙=y,y¨​−y˙​=0,x∣t=0​=1;y˙​∣t=0​=1​ 在命令行输入

求数值解，有一些非线性的常微分方程是不能求出解析解的，我们一般求取其在一段区间内的数值解，采用迭代的方式来求解数值解，ode是matlab专门用于解微分方程的功能函数，具体的说明如下：

ode45是解决问题的首选，如果长时间没有结果，那么则采用ode15s试试。下面介绍ode45的函数格式

首先得将微分方程标准化，类似于选择状态变量写状态空间表达式，对于一般的微分方程

{ F ( y , y ˙ , y ¨ , … , y ( n − 1 ) , t ) = 0 y ( t 0 ) = c 0 , y ˙ ( t ) = c 1 , … , y ( n − 1 ) ( t 0 ) = c n − 1 \left\{ \begin{array}{lr} F(y,\dot{y},\ddot{y},\dots,y^{(n-1)},t)=0 \\ y(t_0)=c_0, \dot{y}(t)=c_1, \dots, y^{(n-1)}(t_0)=c_{n-1} \end{array} \right. {F(y,y˙​,y¨​,…,y(n−1),t)=0y(t0​)=c0​,y˙​(t)=c1​,…,y(n−1)(t0​)=cn−1​​

首先选择选择一组微分作为状态变量

x = [ x 1 x 2 x 3 ⋮ x n ] = [ y y ˙ y ¨ ⋮ y ( n − 1 ) ] \bold x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\x_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y \\ \dot{y} \\ \ddot{y} \\ \vdots \\y^{(n-1)} \end{bmatrix} x=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡​x1​x2​x3​⋮xn​​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡​yy˙​y¨​⋮y(n−1)​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤​

然后将待求解的微分方程 F ( y , y ˙ , y ¨ , … , y ( n − 1 ) , y n , t ) = 0 F(y,\dot{y},\ddot{y},\dots,y^{(n-1)},y^n,t)=0 F(y,y˙​,y¨​,…,y(n−1),yn,t)=0，写成 y n = G ( y , y ˙ , y ¨ … , y n − 1 , t ) = G ( x 1 , x 2 , x 3 … , x n , t ) y^{n}=G(y,\dot{y},\ddot{y} \dots,y^{n-1}, t)=G(x_1,x_2,x_3 \dots,x_{n},t) yn=G(y,y˙​,y¨​…,yn−1,t)=G(x1​,x2​,x3​…,xn​,t)的形式，然后写出 x ˙ \dot{\bold x} x˙

x ˙ = [ x 1 ˙ x 2 ˙ x 3 ˙ ⋮ x n ˙ ] = [ y ˙ y ¨ ⋮ y ( n − 1 ) y ( n ) ] = [ x 2 x 3 x 4 ⋮ G ( x 1 , x 2 , x 3 … , x n , t ) ] \bold{\dot{x}} = \begin{bmatrix} \dot{x_1} \\ \dot{x_2} \\ \dot{x_3} \\ \vdots \\ \dot{x_n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dot{y} \\ \ddot{y} \\ \vdots \\ y^{(n-1)} \\ y^{(n)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ \vdots \\ G(x_1,x_2,x_3 \dots,x_{n},t) \end{bmatrix} x˙=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡​x1​˙​x2​˙​x3​˙​⋮xn​˙​​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡​y˙​y¨​⋮y(n−1)y(n)​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡​x2​x3​x4​⋮G(x1​,x2​,x3​…,xn​,t)​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤​

上述步骤便是我们需要在odefun中完成的，举一个示例：在时间区间 t = [ 3.9 , 4 ] t=[3.9,4] t=[3.9,4]，求解微分方程

y ′ ′ = − t y + e t y ′ + 3 s i n 2 t , y ∣ t = 3 = 8 , y ′ ∣ t = 3 = 2 y''=-ty+e^ty'+3sin2t, y|_{t=3}=8, y'|_{t=3}=2 y′′=−ty+ety′+3sin2t,y∣t=3​=8,y′∣t=3​=2 那么即 x ˙ = [ x [ 1 ] − t ∗ x [ 1 ] + e t ∗ x [ 2 ] + 3 s i n 2 t ] \bold{\dot{x}} = \begin{bmatrix} \bold{x}[1] \\ -t*\bold{x}[1]+e^t*\bold{x}[2]+3sin2t \end{bmatrix} x˙=[x[1]−t∗x[1]+et∗x[2]+3sin2t​]