机器学习使用线性回归方法建模时，求损失函数最优解需要用到最小二乘法。相信很多朋友跟我一样，想先知道公式是什么，然后再研究它是怎么来的。所以不多说，先上公式。

对于线性回归方程\(f(x) = ax + b\)，由最小二乘法得： $$a = \frac{\sum (x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})}{\sum (x_{i}-\overline{x})^{2}}$$ $$b = \overline{y}-a\overline{x}$$ 式中，\((x_{i}, y_{i})\)为实验所得的一组数据的真实值，\(\overline{x}为x_{i}\)的平均数，\(\overline{y}为y_{i}\)的平均数。 接下来推导一下公式是怎么得来的：

设损失函数：

由于是线性回归，式中f(x)是线性函数，令\(f(x) = ax + b\)

现在损失函数M表示为：

最小二乘法是求f(x)的参数a，b，使得损失函数M取得最小值。

即求M = M(a, b)在哪些点取得最小值。由多元函数极值求法，上述问题可以分别对a，b求偏导数，通过解方程组 $$\left{\begin{matrix}M_{a}(a, b) = 0 \ M_{b}(a, b) = 0 \end{matrix}\right.$$ 来解决，即令 $$\left{\begin{matrix}\frac{\partial M}{\partial a} = 0; (2) \ \ \frac{\partial M}{\partial b} = -2\sum [y_{i}-(ax_{i}+b)] = 0; (3) \end{matrix}\right.$$

由平均数性质，\(\sum x_{i} = n\overline{x}\)，\(\sum y_{i} = n\overline{y}\)，其中n为实验数据组数。将其带入(3)式，可得：

此式表明，线性回归函数必过点\((\overline{x}, \overline{y})\)

将(4)式带入(1)式，得：

现对(5)式求偏导数，应用多元复合函数求导法则，推导(2)式：

整理(6)式：

最后可得：

最后附上python代码实现最小二乘法：