非负矩阵分解

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非负矩阵分解

2023-03-22 09:38| 来源: 网络整理| 查看: 265

本文非负矩阵分解（Nonegative matrix factorization，NMF）系列第二篇，主要介绍最基本的NMF原理及代码实现，内容主要包括：

　　1）基于Euclidean距离的NMF推导及实现；

　　2）基于KL散度的NMF推导及实现；

　　3）NMF应用示例

开始之前，有两点需要补充：

前面分析用的是X=AS形式，感觉别扭，好多文章都是用V = WH，后续打算也采用这也表达方式;NMF其实是含有约束的优化问题，但乘法算法可以巧妙得让我们只需讨论：无约束优化问题。一、基于Euclidean距离的NMF推导及实现

考虑无约束优化问题：

利用梯度下降：

其中：

如果直接梯度下降，对于无约束的优化问题，我们不能保证结果都是非负的，下面巧妙之处来了：将梯度下降法变为乘法算法。

令：

梯度下降法变换为乘法算法：

真是巧妙！一个复杂的约束性优化问题，就让一个简单的无约束给解决了。这样一来，如果原矩阵为非负，W、H初始值同样非负，结果自始至终都是非负，直至迭代到满足收敛条件。

给出对应的代码实现：

function [W, H] = nmf(V, K, MAXITER) %Euclidean distance F = size(V,1); T = size(V,2); rand('seed',0) W = 1+rand(F, K); % W = W./repmat(sum(W),F,1); H = 1+rand(K, T); ONES = ones(F,T); for i=1:MAXITER H = H .* (W'*V)./(W'*W*H+eps) ; W = W .* (V*H')./(W*H*H'+eps); end

其实关键的就是循环里的两行。

二、基于KL散度的NMF推导及实现

整个思路与Euclidean distance下的求解思路如出一辙。

考虑无约束优化问题：

利用梯度下降算法：

其中：

根据梯度下降算法转化为乘法算法：

令：

梯度下降算法改写为乘法算法：

对应代码：

function [W, H] = nmf(V, K, MAXITER) %KL-divergence F = size(V,1); T = size(V,2); rand('seed',0) W = 1+rand(F, K); % W = W./repmat(sum(W),F,1); H = 1+rand(K, T); ONES = ones(F,T); for i=1:MAXITER H = H .* (W'*( V./(W*H+eps))) ./ (W'*ONES); W = W .* ((V./(W*H+eps))*H') ./(ONES*H'); end

链接：http://www.cnblogs.com/xingshansi/p/6670214.html

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