一般来说，方阵能描述任意线性变换。线性变换保留了直线和平行线，但原点没有移动。线性变换保留直线的同时，其他的几何性质如长度、角度、面积和体 积可能被变换改变了。从非技术意义上说，线性变换可能“拉伸”坐标系，但不会“弯曲”或“卷折”坐标系。

矩阵是怎样变换向量的

向量在几何上能被解释成一系列与轴平行的位移，一般来说，任意向量v都能写成“扩展”形式：

另一种略有差别的形式为：

注意右边的单位向量就是x，y，z轴，这里只是将概念数学化，向量的每个坐标都表明了平行于相应坐标轴的有向位移。

让我们将上面的向量和重写一遍，这次分别将p、q、r定 义为指向+x，+y和+z方向的单位向量，如下所示：

v = xp + yq + zr

现在，向量v就被表示成向量p，q，r的 线性变换了，向量p，q，r称作基向量。这里 基向量是笛卡尔坐标轴，但事实上，一个坐标系能用任意3个基向量定义，当然这三个基向量要线性无关(也就是不在同一平面上)。以p、q、r为 行构建一个3 x 3矩阵M，可得到如下矩阵：

用一个向量乘以该矩阵，得到：

如果把矩阵的行解释为坐标系的基向量，那么乘以该矩阵就相当于执行了一次坐标转换，如果aM=b， 我们就可以说，M将a转换到b。

从这点看，术语“转换”和“乘法”是等价的。

坦率地说，矩阵并不神秘，它只是用一种紧凑的方式来表达坐标转换所需的数**算。进一步，用线性代数操作矩阵，是一种进行简单转换或导出更复杂转换 的简便方法。

矩阵的形式：

基向量[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]乘以任意矩阵M：

用基向量[1, 0, 0]乘以M时，结果是M的第1行。其他两行也有同样 的结果，这是一个关键的发现：矩阵的每一行都能解释为转换后的基向量。

这个强有力的概念有两条重要性质：

1、有了一种简单的方法来形象化解释矩阵所代表的变换。

2、有了反向建立矩阵的可能 ---- 给出一个期望的变换(如旋转、缩放等)，能够构造一个矩阵代表此变换。我们所要做的一切就是计算基向量的变换，然后将变换后的基向量填入矩阵。

首先来看看2D例子，一个2 x 2矩阵：

这个矩阵代表的变换是什么？首先，从矩阵中抽出基向量p和q：

p = [2   1]

q = [-1  2]

图7.1以“原”基向量(x轴，y轴)为参考，在笛卡尔平面中展示了这些向量。

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如图7.1所示，x基向量变换至上面的p向量&#