等比数列前n项和公式推导过程 |
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等比数列前n项和公式是怎么推导的?想必许多同学对这个问题存有疑惑。下面,就跟小编一起来看看吧。 等比数列前n项和公式:Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。 推导如下: 因为an=a1q^(n-1) 所以Sn=a1+a1*q^1+...+a1*q^(n-1)(1) qSn=a1*q^1+a1q^2+...+a1*q^n(2) (1)-(2)注意(1)式的第一项不变。 把(1)式的第二项减去(2)式的第一项。 把(1)式的第三项减去(2)式的第二项。 以此类推,把(1)式的第n项减去(2)式的第n-1项。 (2)式的第n项不变,这叫错位相减,其目的就是消去这此公共项。 于是得到 (1-q)Sn=a1(1-q^n) 即Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。 等比数列前N项和的性质1、若m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am*an=ap*aq; 2、在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列。“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”; 3、若(an)是等比数列,公比为q1,(bn)也是等比数列,公比是q2,则(a2n),(a3n)…是等比数列,公比为q1^2,q1^3…(can),c是常数,(an*bn),(an/bn)是等比数列,公比为q1,q1q2,q1/q2; 4、按原来顺序抽取间隔相等的项,仍然是等比数列; 5、等比数列中,连续的,等长的,间隔相等的片段和为等比; 6、若(an)为等比数列且各项为正,公比为q,则(log以a为底an的对数)成等差,公差为log以a为底q的对数; 7、等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)(8)数列{An}是等比数列,An=pn+q,则An+K=pn+K也是等比数列,在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.注意:上述公式中A^n表示A的n次方; 8、由于首项为a1,公比为q的等比数列的通向公式可以写成an*q/a1=q^n,它的指数函数y=a^x有着密切的联系,从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。 等比数列前n项和函数特性|an=a1.q^bai(n-1) Sn=a1+a2+...+an =a1(1+q+q^2+...+q^n) =a1(1-q^n)/(1-q) Note:(1-q)(1+q+q^2+...+q^n)=1-q^n |q|∞)Sn =lim(n->∞)a1(1-q^n)/(1-q) =a1/(1-q) |
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