黎曼猜想（简称RH）是德国数学家黎曼(B.Riemann)1859年提出的。黎曼于1826 年出生在如今属于德国，当时属于汉诺威王国(Kingdom of Hanover) 的一座名叫布列斯伦茨 (Breselenz) 的小镇。1859 年，黎曼被选为了柏林科学院的通信院士。[1]

“黎曼猜想指的是：对于黎曼泽塔函数，其非平凡零点的实数部分都是1/2。” 也可以表述成，“黎曼泽塔函数的零点要么是负偶数，要么是实部为1/2的复数。”

当实变数S>1时，极数是收敛的，可表示为无穷乘积的形式，其中p取遍所有素数，这早已为欧拉所证明。

1859年，黎曼向柏林科学院提交了一篇题为《论小于给定数值的素数个数》的论文。那篇只有短短八页的论文就是黎曼猜想的 “诞生地”。

从此该函数被人们称作黎曼 ζ(zeta)函数。黎曼用f函数讨论了素数的分布闯题，并连续提出了六个猜想。通过黎曼的工作和他的猜想，ζ（s)在解析数论领域处于中心地位。随着时间的推移，有五个猜想已经被陆续的解决。然而，惟独第五个问题作为猜想的地位依然如故。

黎曼在文章中指出，关于f函数的零点问题，是f函数的一个重要内容，因为它与素数分布具有直接的关系。黎曼本人已证明，当Re s>1时，ζ(s)无零点，当Re s0[3]

等价命题1.2，RH成立的充要条件是

等价命题1.3(L.Schoenfeld)RH成立的充要条件是对 >73.2

我们知道 ( )和素数定理有着紧密的关系，其实它们存在着等价关系，所以RH也有一个关于 ( )的等价命题，其中 ( )指不大于 的正素数个数，首先引进函数L i 。

早在1849年，高斯就猜测 （ ）~Li（ ），这也就是著名的素数定理，现已经被多种方法证明。然而该函数和黎曼猜想有着紧密的联系。

等价命题1.4，RH成立的充要条件是对任意的 >0

等价命题1.5，RH成立的充要备件是：

人们对黎曼猜想的研究取得了如下局部成果：

1903 年, Gamr 证明 ( s ) 的前15个零点对黎曼猜想成立, 这是该猜想研究的最早成果。

1956 年，人们借助电子计算机证明了 ( s ) 的前2500个零点均使黎曼猜想成立。

80 年代初, 美国三位数学家用电子计算机验证了 ( s )的前3*10 7护零点无一例外适合猜想。

1914 年, Hardy 证明：Re( s )=1/2上有 ( s )的无穷多个零点。

此外，人们还从另外角度研究了 ( s ) 零点分布情况，比如：1924 年, 塞尔伯格证明了 ( s ) 的至少0.01即1% 的零点位于R（s）=1/2上。

1973年，PeDilgen 证明对一般代数簇黎曼猜想成立。[4]

黎曼猜想是众多数学猜想中的最重要一个，它的解决意义十分重大，围绕黎曼猜想的研究极大地推动了解析数论和代数数论的发展，函数论和数论领域内一系列重要的问题和猜想都直接依赖于黎曼猜想的解决。黎曼本人就曾在假定自己猜想成立的前提下，证明了重要的素数定理：

此外，在黎曼猜想成立的前提下，米勒(G.Miller)提出了一个判别给定大整数是否为素数的多项式算法。1979年，波兰的因凡涅斯与英国的希思·布朗得出在x与x+x11/20一定有素数。其证明的前提也是假定黎曼猜想成立。伟大的数学大师希尔伯特(Hilbert)将黎曼猜想列入了他23个问题中第8个问题之内，他还预言也许只有在黎曼猜想得到彻底的研究之后，或许才能够去严格地解决哥德巴赫(G01dbach)猜想，并且进一步着手解决孪生素数猜想，甚至能在更一般地意义上解决线性丢番图(Diophantus)方程ax+by+c=0(具有给定的互素整系数)是否总有素数解。[5]

黎曼猜想是现今未获解决的众多数学猜想中最难的一个，她就像大海中的灯塔一样，为数学指明了新的发展方向。2000年5月，美国克雷数学研究所(clay Mathematics Institute)悬赏100万美元，破解本世纪纯数学领域最亟待解决的七大难题，其中黎曼猜想被放在了第六位。国际著名数学家、哈佛大学教授、菲尔兹奖得主丘成桐认为，在这七个最亟待解决的猜想巾，庞加莱猜想和黎曼猜想是两个最大的猜想。[6]